Расчёт первой, второй и третьей космической скорости и периода орбиты

Калькулятор первой v₁=√(GM/R), второй v₂=√(2GM/R) и третьей космической скорости, периода круговой орбиты T=2π·√(r³/GM) и радиуса орбиты по периоду для планет Солнечной системы.

v₁ = √(G·M / R) = √(g·R)

Небесное тело

Масса M

Радиус тела R

Высота над поверхностью h

Период обращения T

—

Формулы космических скоростей и орбит

1-я космическая (круговая): v₁ = √(G·M / R) = √(g·R) — минимальная скорость для круговой орбиты у поверхности тела.

2-я космическая (параболическая): v₂ = √(2·G·M / R) = √2 · v₁ — скорость убегания, при которой тело покидает поле тяготения.

3-я космическая: v₃ ≈ √(v₂² + (v_esc☉ − v⊕)²) ≈ 16.65 км/с — минимальная скорость с поверхности Земли для выхода из Солнечной системы (с учётом орбитального движения Земли ≈ 29.78 км/с).

Период круговой орбиты: T = 2π · √(r³ / (G·M)), r = R + h — радиус орбиты от центра тела.

Радиус орбиты по периоду: r = ∛(G·M·T² / (4π²)) — третий закон Кеплера в СИ.

1-я и 2-я космические скорости планет Солнечной системы

Тело	v₁, км/с	v₂, км/с
Меркурий	3.00	4.25
Венера	7.33	10.36
Земля	7.91	11.19
Луна	1.68	2.38
Марс	3.55	5.03
Юпитер	42.1	59.5
Сатурн	25.1	35.5
Уран	15.1	21.3
Нептун	16.7	23.5
Солнце	437.0	617.5

FAQ

Что такое 1-я космическая скорость?

Первая космическая скорость v₁ — минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно вышло на круговую орбиту вокруг неё (и не упало обратно). Формула: v₁ = √(G·M/R) = √(g·R), где G — гравитационная постоянная, M — масса планеты, R — её радиус, g — ускорение свободного падения у поверхности. Для Земли v₁ ≈ 7.91 км/с (≈ 28 470 км/ч). На этой скорости движутся низкие околоземные спутники, включая МКС (с поправкой на высоту 400 км — около 7.66 км/с).

Чему равна 2-я космическая скорость Земли?

Вторая космическая скорость (скорость убегания) v₂ = √(2·G·M/R) = √2 · v₁ ≈ 11.19 км/с (≈ 40 270 км/ч). При такой скорости у поверхности Земли тело движется по параболической траектории и покидает гравитационное поле планеты, не возвращаясь. Именно поэтому межпланетные аппараты получают разгонные импульсы, доводящие их скорость до v₂ и выше. На Луне v₂ ≈ 2.38 км/с — потому ракете «Аполлона» хватало небольшой ступени для возврата на Землю.

Почему МКС не падает на Землю?

МКС постоянно «падает» на Землю, но из-за горизонтальной скорости 7.66 км/с искривление её траектории совпадает с кривизной Земли — станция падает «мимо», описывая круг. На высоте 408 км сила тяжести составляет 89% от поверхностной, состояние невесомости — это свободное падение в системе отсчёта станции. Период обращения T = 2π·√(r³/GM) ≈ 92.7 минуты, за сутки МКС делает 15.5 витков. Из-за разреженной атмосферы орбита постепенно снижается, и станцию периодически поднимают двигателями грузовиков.

Что такое геостационарная орбита и почему она 35786 км?

Геостационарная орбита (ГСО) — круговая орбита в плоскости экватора, на которой период обращения спутника равен звёздным суткам Земли T = 86164 с (23 ч 56 мин 4 с). Спутник на ГСО «висит» над одной точкой экватора, что используется для связи и метеорологии. Из третьего закона Кеплера r = ∛(G·M·T²/(4π²)) ≈ 42164 км от центра Земли, минус радиус Земли 6378 км — получаем высоту h ≈ 35786 км над уровнем моря. Орбитальная скорость на ГСО ≈ 3.07 км/с.

За сколько спутник на 400 км облетает Землю?

На высоте 400 км радиус орбиты r = 6371 + 400 = 6771 км. Период T = 2π·√(r³/(G·M)) = 2π·√((6.771·10⁶)³/(6.674·10⁻¹¹·5.972·10²⁴)) ≈ 5557 с ≈ 92.6 минуты. На высоте МКС 408 км — около 92.8 минуты. Это и есть характерное время одного витка — за сутки спутник на низкой околоземной орбите успевает 15–16 раз обогнуть планету. Орбитальная скорость v = √(G·M/r) ≈ 7.67 км/с.

Какая скорость нужна для покидания Солнечной системы (3-я космическая)?

Третья космическая скорость с поверхности Земли v₃ ≈ 16.65 км/с — минимальная скорость, при которой тело покидает Солнечную систему. Её можно получить из двух слагаемых: скорость убегания от Солнца на радиусе земной орбиты v_esc☉ ≈ 42.1 км/с минус орбитальная скорость Земли вокруг Солнца v⊕ ≈ 29.78 км/с — даёт ≈ 12.3 км/с относительно Земли. С учётом необходимости одновременно вырваться из земного тяготения (v₂² = 11.19²) получаем v₃ = √(v₂² + 12.3²) ≈ 16.65 км/с. Аппараты «Вояджер-1» и «Вояджер-2» преодолели этот рубеж за счёт гравитационных манёвров у Юпитера и Сатурна.

Инструмент считает первую космическую скорость v₁=√(GM/R) — минимальную скорость для круговой орбиты у поверхности тела; вторую космическую (параболическую) v₂=√(2GM/R) — скорость убегания из гравитационного поля; третью космическую — скорость для покидания Солнечной системы; период круговой орбиты T=2π·√(r³/GM) и радиус орбиты по заданному периоду r=∛(GM·T²/(4π²)). Выберите режим и небесное тело (Земля, Луна, Марс, Юпитер, Сатурн, Солнце и др.) или введите массу M и радиус R произвольного объекта; для орбит укажите высоту h над поверхностью или период T. Пример: v₁ Земли = √(6.674·10⁻¹¹·5.972·10²⁴/6.371·10⁶) ≈ 7.91 км/с; v₂ Земли = √2·v₁ ≈ 11.19 км/с. Геостационарная орбита T=86164 с даёт радиус r ≈ 42164 км и высоту h ≈ 35786 км над поверхностью Земли. На орбите МКС (h=408 км) период обращения ≈ 92.8 мин, скорость ≈ 7.66 км/с.