Линейное расширение — формула ΔL=αL₀ΔT, калькулятор

Калькулятор теплового расширения тел: вычисляет ΔL=αL₀ΔT для линейного случая и ΔV=βV₀ΔT для объёмного, где β=3α у твёрдых тел и табличное значение у жидкостей. Также считает тепловой зазор и температурное напряжение σ=Eα·ΔT при заблокированном расширении.

ΔL = α · L₀ · ΔT

Начальная длина L₀

Изменение длины ΔL

Начальный объём V₀

Материал (α, 1/K)

α, ·10⁻⁶ 1/K

Жидкость (β, 1/K)

Начальная температура T₁

Конечная температура T₂

Модуль Юнга E (для напряжения)

—

Формулы расширения

Линейное: ΔL = α · L₀ · ΔT; L = L₀ · (1 + α · ΔT)

Площадное: ΔS = 2α · S₀ · ΔT; S = S₀ · (1 + 2α · ΔT)

Объёмное (тв. тело): ΔV = β · V₀ · ΔT, где β ≈ 3α (изотропное тело)

Объёмное (жидкость): ΔV = β · V₀ · ΔT, β — табличный (для воды, спирта и т.д.)

Тепловой зазор: s = α · L · ΔT (плюс инженерный запас 10–20%)

Темп. напряжение (зажатый стержень): σ = E · α · ΔT

Коэффициенты α и β

Материал	α, ·10⁻⁶ 1/K	Тип
Кварц плавленый	0.5	тв.
Инвар (Fe-Ni 36%)	1.5	тв.
Стекло пирекс	3	тв.
Дерево вдоль волокон	4	тв.
Кирпич	5	тв.
Стекло оконное	8	тв.
Бетон	12	тв.
Сталь / железо	12	тв.
Золото	14	тв.
Медь	17	тв.
Латунь	19	тв.
Серебро	19	тв.
Алюминий	23	тв.
Свинец	29	тв.
Цинк	30	тв.
ПВХ	70	тв.

Жидкость	β, ·10⁻⁶ 1/K
Ртуть	181
Вода (20 °C)	207
Глицерин	500
Бензин	950
Керосин	1000
Спирт этиловый	1100

FAQ

Почему ΔT в °C и в кельвинах даёт одинаковый ответ?

Шкала Кельвина и Цельсия отличаются только сдвигом нуля: T(K) = T(°C) + 273.15. При вычитании двух температур (T₂ − T₁) сдвиг сокращается, поэтому численно ΔT(°C) = ΔT(K). Например, нагрев с 20 °C до 70 °C даёт ΔT = 50 °C = 50 K — формулу α·L₀·ΔT можно подставлять в любых из этих единиц.

Почему β ≈ 3α для твёрдых тел?

Объём кубика со стороной L равен V = L³. После нагрева сторона стала L(1+αΔT), значит объём V′ = L³·(1+αΔT)³ ≈ L³·(1 + 3αΔT) при малом αΔT (раскладываем по биному, оставляя линейный член). Сравнив с V′ = V·(1+βΔT), получаем β = 3α. Эта связь верна для изотропных тел; для анизотропных кристаллов и древесины коэффициенты по разным осям различны.

Почему вода имеет аномалию около 4 °C?

При охлаждении от 20 °C до 4 °C вода сжимается, как обычная жидкость, но в диапазоне 4–0 °C она расширяется. Максимальная плотность воды (≈ 999.97 кг/м³) достигается именно при +3.98 °C. Причина — водородные связи: при низких температурах формируются ажурные «ледоподобные» структуры с пустотами, которые увеличивают объём. Поэтому замёрзший лёд легче воды и плавает, а водоёмы зимой замерзают сверху, сохраняя жизнь подо льдом.

Что такое инвар и зачем он нужен?

Инвар — сплав железа (≈ 64%) с никелем (≈ 36%), обнаруженный Гийомом в 1896 году (Нобелевская премия по физике 1920). Его α ≈ 1.5·10⁻⁶ 1/K — почти в 10 раз меньше, чем у стали. Применение: эталонные меры длины, маятники точных часов, корпуса геодезических приборов, баки криогенных танкеров, биметаллические пары, инструменты для производства теневых масок ЭЛТ. Когда нужна стабильная длина при перепадах температуры — выбирают инвар.

Почему железнодорожные рельсы укладывают с зазором?

Рельс длиной 25 м из стали (α = 12·10⁻⁶ 1/K) при нагреве летом с −20 °C до +40 °C удлинится на ΔL = 12·10⁻⁶ · 25 · 60 = 0.018 м = 18 мм. Без зазора эта деформация вызвала бы продольное напряжение σ = E·α·ΔT = 200·10⁹ · 12·10⁻⁶ · 60 = 144 МПа — близко к пределу текучести стали, рельс «выпучивает» (явление выброса пути). Современные «бесстыковые» пути решают это иначе: рельсы свариваются, но прочно закрепляются на шпалах, а температурные напряжения воспринимает балластная призма.

Что такое биметаллическая пластина и где её применяют?

Биметалл — две полоски разных металлов (например, сталь α = 12·10⁻⁶ и латунь α = 19·10⁻⁶), жёстко соединённые по длине. При нагреве латунь удлиняется сильнее стали, и пластинка изгибается в сторону металла с меньшим α. Применение: термостаты утюгов, чайников, автомобильных систем; температурные реле; стрелочные термометры; защита электродвигателей от перегрева. Чувствительность зависит от разности α₁ − α₂ и длины пластины.

Калькулятор линейного и объёмного теплового расширения для пяти задач. Линейное расширение: находит ΔL по формуле ΔL=α·L₀·ΔT или новую длину L=L₀(1+α·ΔT) при нагреве/охлаждении стержня, рельса, трубы, стенового блока. Обратный режим — вычисление коэффициента α по измеренным L₀, ΔL и ΔT. Объёмное расширение: ΔV=β·V₀·ΔT, где для твёрдого изотропного тела β≈3α, а для жидкостей берётся табличное β (вода 207·10⁻⁶, ртуть 181·10⁻⁶, спирт 1100·10⁻⁶, бензин 950·10⁻⁶, керосин 1000·10⁻⁶, глицерин 500·10⁻⁶). Режим теплового зазора и напряжения: считает s=α·L·ΔT для рельсов, мостов и трубопроводов с инженерным запасом 15%, а при заблокированном расширении — напряжение σ=E·α·ΔT (модули Юнга для стали 200 ГПа, алюминия 70, меди 110, бетона 30). Примеры: стальной мост 100 м при ΔT=50 °C удлиняется на 60 мм; алюминиевый стержень 1 м при ΔT=100 °C — на 2.3 мм; литр воды при нагреве 20→80 °C увеличивает объём на ≈12.4 см³.