Расчёт по уравнению Бернулли P+½ρv²+ρgh=const, неразрывности потока, формуле Торричелли и динамическому давлению.
P + ½·ρ·v² + ρ·g·h = const
Для расчёта расхода Q = v·S
—
Основные формулы гидродинамики
Уравнение Бернулли: P₁ + ½·ρ·v₁² + ρ·g·h₁ = P₂ + ½·ρ·v₂² + ρ·g·h₂ — сохранение полной механической энергии единицы объёма идеальной несжимаемой жидкости
Неразрывность потока: ρ₁·v₁·S₁ = ρ₂·v₂·S₂; для несжимаемой жидкости: v₁·S₁ = v₂·S₂ — что втекает, то и вытекает
Формула Торричелли: v = √(2·g·h) — скорость истечения идеальной жидкости из отверстия на глубине h
Динамическое давление: P_дин = ½·ρ·v² — кинетическая энергия единицы объёма потока (Pa)
Объёмный расход: Q = v·S — сколько кубометров проходит через сечение в секунду (м³/с)
Плотность жидкостей и газов
| Вещество | ρ, кг/м³ | Условия |
|---|---|---|
| Вода (пресная) | 1000 | 4 °C |
| Вода морская | 1025 | 15 °C |
| Бензин | 730 | 20 °C |
| Масло моторное | 900 | 20 °C |
| Глицерин | 1260 | 20 °C |
| Ртуть | 13546 | 20 °C |
| Воздух | 1.225 | 15 °C, 101.3 кПа |
| Углекислый газ CO₂ | 1.98 | 0 °C, 101.3 кПа |
| Гелий He | 0.179 | 0 °C, 101.3 кПа |
| Природный газ (метан) | 0.717 | 0 °C, 101.3 кПа |
Часто задаваемые вопросы
Что означает уравнение Бернулли простыми словами?
Уравнение Бернулли — это закон сохранения энергии для движущейся жидкости (или газа без сжатия). В каждой точке потока сумма трёх энергий на единицу объёма постоянна: статическое давление P (потенциальная энергия упругости), динамическое давление ½ρv² (кинетическая энергия) и гидростатическое давление ρgh (потенциальная энергия высоты). Если жидкость ускоряется — давление падает; если поднимается — давление тоже падает. Уравнение применимо для идеальной несжимаемой жидкости в стационарном потоке вдоль одной линии тока.
Почему в узкой части трубы давление меньше?
По уравнению неразрывности v₁·S₁ = v₂·S₂: если сечение S уменьшается, скорость v растёт пропорционально (для несжимаемой жидкости). Подставляя в Бернулли при h = const: P₁ + ½ρv₁² = P₂ + ½ρv₂². Раз v₂ больше v₁, динамическое давление в узкой части растёт, и чтобы сумма сохранилась, статическое давление P₂ должно уменьшиться. Этот эффект используют в трубках Вентури, расходомерах и пульверизаторах.
Когда уравнение Бернулли не работает?
Классическое уравнение неприменимо в трёх случаях. Первый — вязкая жидкость: внутреннее трение (вязкость) рассеивает энергию на тепло, и сумма P + ½ρv² + ρgh уменьшается вдоль потока (нужны поправки Дарси–Вейсбаха). Второй — турбулентный режим (Re > 2300 для трубы): пульсации скорости делают линию тока нестабильной. Третий — сжимаемые потоки (газы при v > 0.3·v_звука): плотность ρ становится переменной, требуется уравнение энергии с энтальпией. В реальных трубах вводят коэффициенты потерь напора.
Как формула Торричелли связана с уравнением Бернулли?
Формула v = √(2gh) — частный случай уравнения Бернулли для свободного истечения. Берём точку 1 на свободной поверхности жидкости (P₁ = атмосферному, v₁ ≈ 0 если бак широкий) и точку 2 в отверстии (P₂ = атмосферному, v₂ — искомое). При вычитании атмосферное давление сокращается, остаётся: ρ·g·h = ½·ρ·v₂². Откуда v₂ = √(2gh) — та же формула, что для свободно падающего тела с высоты h. На практике вводят коэффициент сжатия струи μ ≈ 0.6–0.65 для острых отверстий.
Как уравнение Бернулли объясняет подъёмную силу крыла?
Профиль крыла спроектирован так, что воздух над верхней (выпуклой) поверхностью движется быстрее, чем под нижней. По Бернулли при h ≈ const: P_верх + ½ρv²_верх = P_низ + ½ρv²_низ. Раз v_верх больше, P_верх ниже, и возникает разность давлений, направленная вверх — подъёмная сила Y = ΔP·S. Например, при v_низ = 200 м/с, v_верх = 240 м/с, ρ = 1.225 кг/м³: ΔP = ½·1.225·(240² − 200²) ≈ 10780 Па ≈ 1.1 тонны на м². Это упрощённая модель — реально вклад дают также циркуляция и эффект Магнуса.
В чём разница между статическим и динамическим давлением?
Статическое давление P — это давление, которое жидкость оказывает на стенки сосуда или измерительный прибор перпендикулярно потоку. Его измеряет манометр, врезанный сбоку в трубу. Динамическое давление P_дин = ½ρv² — это кинетическая энергия единицы объёма движущейся жидкости. Его нельзя измерить напрямую, но можно вычислить через скорость, либо найти как разность полного P_полн (трубка Пито, измеряет в лоб потоку) и статического: P_дин = P_полн − P_стат. Сумма P + ½ρv² называется напором (полным давлением) и постоянна в идеальном потоке.
Калькулятор решает задачи гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Пять режимов: уравнение Бернулли P₁+½ρv₁²+ρgh₁ = P₂+½ρv₂²+ρgh₂ с поиском любого из шести неизвестных, неразрывность потока v₁S₁ = v₂S₂ для сужающейся или расширяющейся трубы, формула Торричелли v=√(2gh) для истечения из отверстия, динамическое давление P_дин=½ρv² и расход Q=v·S через сечение трубы. Поддерживаются единицы давления (Pa, kPa, MPa, атм, бар), скорости (м/с, км/ч), длин (м, см, мм, дюйм), площадей и плотности. Готовые пресеты: сужение трубы 10→5 см, бак с отверстием 2 м, аэродинамика крыла 200→240 м/с, водопровод 50 мм. В результате — пошаговый разбор с разделением статического, динамического и гидростатического давлений.