Формула Эйнштейна E=mc² — расчёт энергии массы

Калькулятор формулы Эйнштейна E=mc² для расчётов специальной теории относительности: энергия покоя, γ-фактор, релятивистские кинетическая энергия и импульс, связь E²=(pc)²+(mc²)².

E₀ = m · c²; c = 299 792 458 м/с

Масса m

Скорость v

Энергия E

Кинетическая энергия KE

Импульс p

Что задано (режим E)

—

Формулы СТО

Энергия покоя: E₀ = m·c² (минимальная энергия, заключённая в массе)

γ-фактор Лоренца: γ = 1/√(1 − β²) = 1/√(1 − v²/c²), β = v/c

Полная энергия: E = γ·m·c²; кинетическая: KE = (γ−1)·m·c²; импульс: p = γ·m·v

Связь энергии и импульса: E² = (p·c)² + (m·c²)² (для безмассовых: E = p·c при m=0)

Скорость света: c = 299 792 458 м/с (точное значение по определению СИ); 1 а.е.м. = 1.66053906892·10⁻²⁷ кг ≈ 931.494 МэВ/c²

Энергия покоя элементарных частиц

Частица	m·c²	В Дж
Электрон (e⁻)	0.5110 МэВ	8.187·10⁻¹⁴
Мюон (μ)	105.66 МэВ	1.693·10⁻¹¹
Пион нейтр. (π⁰)	134.98 МэВ	2.163·10⁻¹¹
Пион зар. (π±)	139.57 МэВ	2.236·10⁻¹¹
Каон (K±)	493.68 МэВ	7.910·10⁻¹¹
Протон (p)	938.27 МэВ	1.503·10⁻¹⁰
Нейтрон (n)	939.57 МэВ	1.505·10⁻¹⁰
Z-бозон (Z⁰)	91.19 ГэВ	1.461·10⁻⁸
Бозон Хиггса (H)	125.25 ГэВ	2.007·10⁻⁸
Нейтрино (ν)	< 2 эВ	< 3.2·10⁻¹⁹

FAQ

Почему E=mc² не подходит для движущихся тел?

Формула E₀ = m·c² даёт энергию покоя — это минимальная энергия, которой обладает тело в системе отсчёта, где оно покоится. Для движущегося тела добавляется кинетическая энергия, и полная энергия равна E = γ·m·c², где γ-фактор Лоренца растёт с ростом скорости. При v ≪ c имеем γ ≈ 1, и E ≈ m·c² + ½m·v² (классический предел). При v → c величина γ → ∞, поэтому даже малая масса требует бесконечной энергии для разгона до световой скорости.

Что такое γ-фактор и когда им можно пренебречь?

γ = 1/√(1 − v²/c²) — лоренц-фактор, показывающий, во сколько раз релятивистские эффекты (замедление времени, сокращение длин, рост энергии и импульса) отклоняются от классических значений. При β = v/c = 0.1 имеем γ ≈ 1.005 (отклонение 0.5%), при β = 0.5 — γ ≈ 1.155, при β = 0.9 — γ ≈ 2.294, при β = 0.99 — γ ≈ 7.09, при β = 0.999 — γ ≈ 22.4. На скоростях ниже ≈10% c релятивистскими поправками обычно пренебрегают и применяют классическую механику.

Может ли тело двигаться со скоростью света?

Тело с ненулевой массой покоя — нет. При v → c знаменатель √(1 − v²/c²) → 0, поэтому γ → ∞, и полная энергия E = γ·m·c² расходится. Чтобы разогнать электрон до v = c, нужна бесконечная энергия — это запрещено. Со скоростью света движутся только безмассовые частицы (фотон, глюон): для них m = 0 и формула E = p·c остаётся конечной. Гравитоны, если существуют, тоже безмассовы и движутся со скоростью c.

Почему 1 г массы = ~9·10¹³ Дж?

E₀ = m·c² = 0.001 кг · (2.998·10⁸)² ≈ 8.99·10¹³ Дж ≈ 21.5 килотонн ТНТ — это эквивалент энергии бомбы Хиросимы. Дефект массы при делении урана-235 составляет около 0.1% — поэтому 1 кг U-235 при полном делении выделяет порядка 8·10¹³ Дж (~24 ГВт·ч). При термоядерном синтезе D+T → He+n дефект массы ≈ 0.4% — значительно эффективнее. Полная конверсия массы в энергию происходит только при аннигиляции вещества и антивещества.

Чем отличается релятивистская кинетическая энергия от классической ½mv²?

Релятивистская KE = (γ−1)·m·c² точно описывает энергию движения при любых скоростях, включая v близкие к c. Классическое ½m·v² — это первый член разложения KE по степеням β² = v²/c². При β = 0.1 разница менее 1%, при β = 0.5 ½m·v² даёт лишь ≈80% от истинной KE, а при β = 0.9 — около 24%. На ускорителях (LHC, протон 6.5 ТэВ при β ≈ 0.999999991) использование классической формулы даёт ошибку в тысячи раз.

Как E²=(pc)²+(mc²)² работает для безмассовых частиц (фотон)?

Для фотона m = 0, и соотношение упрощается до E = p·c. Энергия фотона связана с частотой через E = h·ν (соотношение Планка), а импульс p = h·ν/c = h/λ (де Бройль). Видимый свет с длиной волны 550 нм имеет энергию E ≈ 2.25 эВ и импульс p ≈ 1.2·10⁻²⁷ кг·м/с. Несмотря на отсутствие массы покоя, фотон переносит импульс — на этом основано солнечное давление и работа фотонных парусов космических аппаратов.

Калькулятор реализует пять режимов расчётов по специальной теории относительности. Режим A — энергия покоя E₀=mc² и обратное преобразование массы из энергии. Режим B — полная энергия γmc², кинетическая (γ−1)mc² и импульс γmv по массе и скорости. Режим C — релятивистская кинетическая энергия с возможностью найти скорость по заданной KE. Режим D — релятивистский импульс p=γmv. Режим E — фундаментальное соотношение E²=(pc)²+(mc²)² с выбором двух известных величин из трёх. Поддержка единиц массы (кг, г, мг, а.е.м., МэВ/c²), скорости (м/с, км/с, км/ч, доля c), энергии (Дж, кДж, кВт·ч, МэВ, ГэВ, эрг) и импульса (кг·м/с, МэВ/c). Пресеты для электрона при v=0.5c, протона при v=0.99c, аннигиляции протона с антипротоном, мюона при v=0.999c и распада 1 г урана-235 (даёт ≈9·10¹³ Дж — эквивалент 21.5 кт ТНТ). Пример: для электрона при β=0.5 γ≈1.155, KE≈0.0789 МэВ, что отличается от классической ½mv² на 16%. Защита от v≥c, отрицательных значений и нефизичных (pc>E).