Формула Эйнштейна E=mc² — расчёт энергии массы

Калькулятор формулы Эйнштейна E=mc² для расчётов специальной теории относительности: энергия покоя, γ-фактор, релятивистские кинетическая энергия и импульс, связь E²=(pc)²+(mc²)².

E₀ = m · c²; c = 299 792 458 м/с

Масса m

Скорость v

Энергия E

Кинетическая энергия KE

Импульс p

Что задано (режим E)

—

Формулы СТО

Энергия покоя: E₀ = m·c² (минимальная энергия, заключённая в массе)

γ-фактор Лоренца: γ = 1/√(1 − β²) = 1/√(1 − v²/c²), β = v/c

Полная энергия: E = γ·m·c²; кинетическая: KE = (γ−1)·m·c²; импульс: p = γ·m·v

Связь энергии и импульса: E² = (p·c)² + (m·c²)² (для безмассовых: E = p·c при m=0)

Скорость света: c = 299 792 458 м/с (точное значение по определению СИ); 1 а.е.м. = 1.66053906892·10⁻²⁷ кг ≈ 931.494 МэВ/c²

Энергия покоя элементарных частиц

Частица	m·c²	В Дж
Электрон (e⁻)	0.5110 МэВ	8.187·10⁻¹⁴
Мюон (μ)	105.66 МэВ	1.693·10⁻¹¹
Пион нейтр. (π⁰)	134.98 МэВ	2.163·10⁻¹¹
Пион зар. (π±)	139.57 МэВ	2.236·10⁻¹¹
Каон (K±)	493.68 МэВ	7.910·10⁻¹¹
Протон (p)	938.27 МэВ	1.503·10⁻¹⁰
Нейтрон (n)	939.57 МэВ	1.505·10⁻¹⁰
Z-бозон (Z⁰)	91.19 ГэВ	1.461·10⁻⁸
Бозон Хиггса (H)	125.25 ГэВ	2.007·10⁻⁸
Нейтрино (ν)	< 2 эВ	< 3.2·10⁻¹⁹

FAQ

Почему E=mc² не подходит для движущихся тел?

Формула E₀ = m·c² даёт энергию покоя — это минимальная энергия, которой обладает тело в системе отсчёта, где оно покоится. Для движущегося тела добавляется кинетическая энергия, и полная энергия равна E = γ·m·c², где γ-фактор Лоренца растёт с ростом скорости. При v ≪ c имеем γ ≈ 1, и E ≈ m·c² + ½m·v² (классический предел). При v → c величина γ → ∞, поэтому даже малая масса требует бесконечной энергии для разгона до световой скорости.

Что такое γ-фактор и когда им можно пренебречь?

γ = 1/√(1 − v²/c²) — лоренц-фактор, показывающий, во сколько раз релятивистские эффекты (замедление времени, сокращение длин, рост энергии и импульса) отклоняются от классических значений. При β = v/c = 0.1 имеем γ ≈ 1.005 (отклонение 0.5%), при β = 0.5 — γ ≈ 1.155, при β = 0.9 — γ ≈ 2.294, при β = 0.99 — γ ≈ 7.09, при β = 0.999 — γ ≈ 22.4. На скоростях ниже ≈10% c релятивистскими поправками обычно пренебрегают и применяют классическую механику.

Может ли тело двигаться со скоростью света?

Тело с ненулевой массой покоя — нет. При v → c знаменатель √(1 − v²/c²) → 0, поэтому γ → ∞, и полная энергия E = γ·m·c² расходится. Чтобы разогнать электрон до v = c, нужна бесконечная энергия — это запрещено. Со скоростью света движутся только безмассовые частицы (фотон, глюон): для них m = 0 и формула E = p·c остаётся конечной. Гравитоны, если существуют, тоже безмассовы и движутся со скоростью c.

Почему 1 г массы = ~9·10¹³ Дж?

E₀ = m·c² = 0.001 кг · (2.998·10⁸)² ≈ 8.99·10¹³ Дж ≈ 21.5 килотонн ТНТ — это эквивалент энергии бомбы Хиросимы. Дефект массы при делении урана-235 составляет около 0.1% — поэтому 1 кг U-235 при полном делении выделяет порядка 8·10¹³ Дж (~24 ГВт·ч). При термоядерном синтезе D+T → He+n дефект массы ≈ 0.4% — значительно эффективнее. Полная конверсия массы в энергию происходит только при аннигиляции вещества и антивещества.

Чем отличается релятивистская кинетическая энергия от классической ½mv²?

Релятивистская KE = (γ−1)·m·c² точно описывает энергию движения при любых скоростях, включая v близкие к c. Классическое ½m·v² — это первый член разложения KE по степеням β² = v²/c². При β = 0.1 разница менее 1%, при β = 0.5 ½m·v² даёт лишь ≈80% от истинной KE, а при β = 0.9 — около 24%. На ускорителях (LHC, протон 6.5 ТэВ при β ≈ 0.999999991) использование классической формулы даёт ошибку в тысячи раз.

Как E²=(pc)²+(mc²)² работает для безмассовых частиц (фотон)?

Для фотона m = 0, и соотношение упрощается до E = p·c. Энергия фотона связана с частотой через E = h·ν (соотношение Планка), а импульс p = h·ν/c = h/λ (де Бройль). Видимый свет с длиной волны 550 нм имеет энергию E ≈ 2.25 эВ и импульс p ≈ 1.2·10⁻²⁷ кг·м/с. Несмотря на отсутствие массы покоя, фотон переносит импульс — на этом основано солнечное давление и работа фотонных парусов космических аппаратов.

Передача файла

Для отправки PDF, изображения, документа или другого файла на другое устройство можно открыть страницу передачи файлов.

Открыть страницу

Калькулятор реализует пять режимов расчётов по специальной теории относительности. Режим A — энергия покоя E₀=mc² и обратное преобразование массы из энергии. Режим B — полная энергия γmc², кинетическая (γ−1)mc² и импульс γmv по массе и скорости. Режим C — релятивистская кинетическая энергия с возможностью найти скорость по заданной KE. Режим D — релятивистский импульс p=γmv. Режим E — фундаментальное соотношение E²=(pc)²+(mc²)² с выбором двух известных величин из трёх. Поддержка единиц массы (кг, г, мг, а.е.м., МэВ/c²), скорости (м/с, км/с, км/ч, доля c), энергии (Дж, кДж, кВт·ч, МэВ, ГэВ, эрг) и импульса (кг·м/с, МэВ/c). Пресеты для электрона при v=0.5c, протона при v=0.99c, аннигиляции протона с антипротоном, мюона при v=0.999c и распада 1 г урана-235 (даёт ≈9·10¹³ Дж — эквивалент 21.5 кт ТНТ). Пример: для электрона при β=0.5 γ≈1.155, KE≈0.0789 МэВ, что отличается от классической ½mv² на 16%. Защита от v≥c, отрицательных значений и нефизичных (pc>E).