Гравитационный потенциал и потенциальная энергия в поле тяжести — расчёт

Калькулятор гравитационного потенциала φ = -GM/r точечной массы и потенциальной энергии тела U = -GMm/r в поле тяготения, разности потенциалов между точками и скорости убегания v_esc = √(2GM/r).

φ = -G · M / r

Небесное тело

Масса тела M

Расстояние r от центра тела

r₁ — начальное расстояние

r₂ — конечное расстояние

Высота h над поверхностью

Масса пробного тела m

—

Формулы гравитационного потенциала

Потенциал точечной массы: φ(r) = −G·M / r — всегда отрицателен, обнуляется на бесконечности (r → ∞ ⇒ φ → 0)

Потенциальная энергия пробной массы: U(r) = m · φ = −G·M·m / r

Разность потенциалов и работа поля: Δφ = φ₂ − φ₁ = G·M·(1/r₁ − 1/r₂); работа внешн. сил A = m·Δφ

Скорость убегания (2-я космическая для r=R): v_esc = √(2·G·M / r) = √(−2·φ); ½mv² = m|φ|

Связь с локальным g и mgh: g(r) = G·M/r² = |φ|/r; для h ≪ R: ΔU ≈ m·g·h (линейное приближение)

Гравитационные потенциалы планет на поверхности

Тело	φ_пов, ·10⁷ Дж/кг	v_esc, км/с	g, м/с²
Меркурий	−0.903	4.25	3.70
Венера	−5.36	10.36	8.87
Земля	−6.25	11.19	9.81
Луна	−0.282	2.38	1.62
Марс	−1.262	5.03	3.71
Юпитер	−181	59.5	24.79
Сатурн	−65.1	35.5	10.44
Солнце	−19058	617.5	274

FAQ

Что такое гравитационный потенциал и почему он отрицательный?

Гравитационный потенциал φ в точке поля — это энергия, которой обладает единичная масса в этой точке (Дж/кг). По определению φ обнуляется на бесконечно большом расстоянии от притягивающего тела. Поскольку гравитация — сила притяжения, при перемещении пробного тела к источнику оно совершает работу за счёт поля, и его энергия уменьшается. Поэтому потенциал на конечном расстоянии меньше нуля: φ(r) = -GM/r < 0. Знак минус подчёркивает, что для удаления тела на бесконечность нужно совершить положительную работу против сил тяжести, равную |φ|·m.

Как φ связан с ускорением свободного падения g?

Ускорение g(r) — это градиент потенциала: g = -dφ/dr (направлено к центру). Из φ = -GM/r следует g = GM/r². На поверхности Земли r = R и g = GM/R² ≈ 9.81 м/с². Удобная связка: |φ_пов| = g·R, поэтому потенциал на поверхности равен 9.81·6 371 000 ≈ 6.25·10⁷ Дж/кг. Эта же величина определяет 2-ю космическую скорость через v_esc = √(2gR) = √(2|φ|).

Чему равен потенциал на поверхности Земли?

φ_пов(Земли) = -G·M_З/R_З = -6.674·10⁻¹¹ · 5.972·10²⁴ / 6.371·10⁶ ≈ -6.25·10⁷ Дж/кг (или м²/с² — единицы совпадают). Это значит, что на каждый килограмм массы тела поле Земли «должно» отдать 62.5 МДж энергии, чтобы переместить его с поверхности на бесконечно большое расстояние. Эквивалент — около 17.4 кВт·ч на кг.

Почему v_esc = √(2|φ|)?

Скорость убегания — минимальная скорость, при которой тело может уйти на бесконечность с нулевой остаточной кинетической энергией. По закону сохранения энергии: ½m·v² + U(r) = 0 (на бесконечности обе части равны нулю). Отсюда ½m·v² = -U = m·|φ|, и v_esc = √(2|φ|) = √(2GM/r). Для поверхности Земли это даёт ≈ 11.19 км/с — вторая космическая скорость. Для орбит выше поверхности значение чуть меньше, потому что |φ| убывает с высотой.

Когда формула U = mgh применима?

Линейная формула U = mgh — частный случай для малых высот h ≪ R, когда g считается постоянным. Точная разность энергий: ΔU = -GMm·(1/r₂ − 1/r₁). При r₁ = R, r₂ = R + h и h ≪ R разложение даёт ΔU ≈ GMm·h/R² = mgh с ошибкой ~h/R. На высоте 8 км (Эверест) ошибка mgh ~ 0.1 %; на 400 км (МКС) — уже ~6 %; на геостационарной орбите (36 000 км) формула mgh неприменима, нужно использовать общую U = -GMm/r.

Сколько энергии нужно вывести 1 кг с Земли в бесконечность?

Минимальная энергия E = m·|φ_пов| = 1 · 6.25·10⁷ ≈ 62.5 МДж ≈ 17.4 кВт·ч. Это идеальный нижний предел без учёта потерь и атмосферного сопротивления. Для сравнения: бак 60 л бензина содержит около 540 кВт·ч химической энергии — энергии хватило бы на 30 кг полезной нагрузки, если бы КПД ракеты был 100 %. Реальный КПД химических ракет ~3–5 %, поэтому масса топлива в десятки раз больше массы выводимого груза.

Калькулятор считает гравитационный потенциал φ = -GM/r точечной массы на расстоянии r от центра, потенциальную энергию пробного тела U = m·φ = -GMm/r, разность потенциалов Δφ между двумя точками и работу поля A = m·Δφ при перемещении, а также скорость убегания v_esc = √(2GM/r), которая для r=R даёт 2-ю космическую. Выберите небесное тело (Земля, Солнце, Луна или собственное), режим расчёта и введите расстояние от центра тела. Пример: на поверхности Земли r=6371 км потенциал φ = -6.674·10⁻¹¹·5.972·10²⁴/6.371·10⁶ ≈ -6.25·10⁷ Дж/кг; чтобы вывести 1 кг в бесконечность, нужна энергия |φ| ≈ 62.5 МДж ≈ 17.4 кВт·ч; v_esc = √(2·6.25·10⁷) ≈ 11.19 км/с (2-я космическая). Для малых высот h ≪ R формула сводится к локальной mgh.