Арктангенс — калькулятор обратной функции к тангенсу

Что такое арктангенс

Арктангенс (arctg x, в западной нотации arctan или tan⁻¹) — это обратная функция к тангенсу. По данному числу x он возвращает тот единственный угол θ из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен x. Другими словами, если tg θ = x, то θ = arctg x. В отличие от тангенса, arctg определён для любого действительного x — от −∞ до +∞ — и при этом всегда возвращает значение строго между −90° и 90°, не достигая границ.

Область определения и область значений

Арктангенс — единственная из обратных тригонометрических функций, определённая на всей числовой прямой без ограничений. Область определения: D(arctg) = (−∞; +∞). Область значений: E(arctg) = (−π/2; π/2) = (−90°; 90°). Границы ±π/2 функция не принимает — это горизонтальные асимптоты: при x → +∞ значение arctg(x) стремится к π/2 сверху, но никогда его не достигает; аналогично при x → −∞ — к −π/2. График плавно монотонно возрастает, проходит через начало координат и зажат между двумя асимптотами y = ±π/2.

Таблица точных значений

Для задач, где ответ должен быть выражен через π, полезна таблица специальных значений:

• arctg 0 = 0 рад = 0°
• arctg (√3/3) = π/6 рад = 30°
• arctg 1 = π/4 рад = 45°
• arctg √3 = π/3 рад = 60°
• arctg x → π/2 при x → +∞ (асимптота, 90°)
• arctg (−1) = −π/4 рад = −45°
• arctg (−√3) = −π/3 рад = −60°

Благодаря нечётности функции (arctg(−x) = −arctg x) таблица отрицательных значений получается простой сменой знака. Калькулятор выше автоматически распознаёт кратные π и пишет ответ в точной форме, если это возможно.

График и асимптоты

Интерактивный график y = arctg x показан в калькуляторе на диапазоне x ∈ [−10; 10]. Красные пунктирные линии — асимптоты y = π/2 и y = −π/2. Синяя точка на кривой синхронизирована со значением, которое вы вводите: меняя x, вы видите, как угол θ плавно приближается к 90° при росте x и к −90° при уменьшении. Кривая симметрична относительно начала координат (функция нечётная) и всюду монотонно возрастает — производная положительна при любом x.

Тождества и формулы

Полезные свойства арктангенса:

• Нечётность: arctg(−x) = −arctg(x)
• Взаимная формула: arctg(x) + arctg(1/x) = π/2 при x > 0 и −π/2 при x < 0
• Сумма: arctg(a) + arctg(b) = arctg((a + b) / (1 − ab)) при ab < 1
• Производная: d/dx arctg(x) = 1 / (1 + x²)
• Первообразная: ∫ arctg(x) dx = x·arctg(x) − ½·ln(1 + x²) + C
• Ряд Маклорена: arctg(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … при |x| ≤ 1 (ряд Лейбница)

Где применяется арктангенс

Арктангенс встречается везде, где нужно восстановить угол по отношению катетов или по наклону. Геометрия и строительство: угол наклона кровли или пандуса по формуле α = arctg(h/l), где h — высота подъёма, l — горизонтальное заложение. Например, при h = 1 м и l = 2 м угол α = arctg(0.5) ≈ 26.565°. Дороги и рельсы: уклон 5% (tg = 0.05) соответствует arctg(0.05) ≈ 2.862°. Программирование: функция atan2(y, x) возвращает угол вектора (x, y) на плоскости и используется в компьютерной графике, робототехнике, навигации. Физика: фазовый сдвиг RC-цепи φ = arctg(ωRC), угол отклонения маятника, оптика (закон Брюстера). Статистика: стабилизация дисперсии коэффициента корреляции через преобразование Фишера.

Примеры решения

Пример 1. Найти угол наклона лестницы, если она поднимается на 3 м при горизонтальном смещении 4 м. α = arctg(3/4) = arctg(0.75) ≈ 36.87°. Пример 2. Вычислить arctg(1). Поскольку tg(π/4) = 1, ответ = π/4 ≈ 0.7854 рад = 45°. Пример 3. Проверить тождество: arctg(2) + arctg(1/2) = ? По формуле при x = 2 > 0 сумма равна π/2 = 90°. Действительно: arctg(2) ≈ 63.435°, arctg(0.5) ≈ 26.565°, вместе 90°. Пример 4. Крыша дома имеет скат: подъём 2.5 м на горизонтали 5 м. Угол ската = arctg(2.5/5) = arctg(0.5) ≈ 26.57° — стандартный средний уклон. Для всех подобных задач введите отношение в поле калькулятора выше — ответ появится в градусах и радианах мгновенно.