Калькулятор косинуса — cos, таблица значений, единичный круг

Вычисляет косинус угла и даёт обратную задачу: по значению cos θ находит углы. Перетаскивайте точку по единичному кругу мышью или пальцем — проекция на ось X (красная) показывает косинус, вертикальная штриховая — синус.

x y 1 -1 1 -1 θ cos θ
cos θ
1.0000
sin θ
0.0000
tg θ
0.0000
ctg θ
—
Угол °
0°
Радианы
0
Таблица специальных значений ▼
Угол cos sin tg
0°100
30°√3 ⁄ 21 ⁄ 2√3 ⁄ 3
45°√2 ⁄ 2√2 ⁄ 21
60°1 ⁄ 2√3 ⁄ 2√3
90°01—
120°−1 ⁄ 2√3 ⁄ 2−√3
180°−100
Формулы приведения
cos(−α) = cos α — косинус чётная функция
cos(90° − α) = sin α — дополнительный угол
cos(180° − α) = −cos α — смежный угол
cos(180° + α) = −cos α — симметрия через π
cos(360° − α) = cos α — период 360°
Скачайте этот калькулятор и считайте офлайн · без рекламы · PDF/JPGПодключить за 50 ₽/мес
0 / 2000
Использование сайта означает согласие с пользовательским соглашением.
Политика конфиденциальности и использования файлов cookie.

Что такое косинус

Косинус угла θ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. На единичном круге косинус равен абсциссе (координате x) точки пересечения радиус-вектора с окружностью радиуса 1. Область значений: cos θ ∈ [−1, 1]. Функция чётная: cos(−α) = cos α, период равен 360° (или 2π радиан).

Единичный круг

Единичный круг — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Для любого угла θ, отсчитанного от положительного направления оси X против часовой стрелки, точка на окружности имеет координаты (cos θ; sin θ). Поэтому косинус — это горизонтальная проекция радиус-вектора, а синус — вертикальная. В калькуляторе красная линия подсвечивает проекцию cos θ на ось X, голубая штриховая — sin θ. Дуга от положительной оси X отмечает сам угол θ.

Знаки косинуса по четвертям

  • I четверть (0°–90°): cos θ > 0
  • II четверть (90°–180°): cos θ < 0
  • III четверть (180°–270°): cos θ < 0
  • IV четверть (270°–360°): cos θ > 0

Таблица значений косинуса

Угол В радианах cos θ Значение
0° 0 1 1,0000
30° π/6 √3/2 0,8660
45° π/4 √2/2 0,7071
60° π/3 1/2 0,5000
90° π/2 0 0,0000
120° 2π/3 −1/2 −0,5000
135° 3π/4 −√2/2 −0,7071
150° 5π/6 −√3/2 −0,8660
180° π −1 −1,0000
270° 3π/2 0 0,0000
360° 2π 1 1,0000

Формулы приведения

Формулы приведения связывают косинус произвольного угла с косинусом или синусом острого угла. Основные тождества:

  • cos(−α) = cos α — чётность функции;
  • cos(90° − α) = sin α — дополнение до прямого угла;
  • cos(90° + α) = −sin α;
  • cos(180° − α) = −cos α — смежный угол;
  • cos(180° + α) = −cos α;
  • cos(360° − α) = cos α — период 360°;
  • cos² α + sin² α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

Применение в геометрии

Косинус используется в теореме косинусов для произвольного треугольника: c² = a² + b² − 2ab·cos γ, где γ — угол против стороны c. Формула обобщает теорему Пифагора (при γ = 90° косинус равен 0). В векторной алгебре через косинус выражается скалярное произведение: a·b = |a|·|b|·cos φ, где φ — угол между векторами. В координатной геометрии направляющие косинусы прямой в пространстве — это косинусы углов между прямой и осями координат.

Примеры расчёта

Пример 1. Найти cos 60°. Из таблицы или единичного круга: cos 60° = 1/2 = 0,5. Через калькулятор: введите 60 в поле «Угол» — получите точку с координатами (0,5; √3/2).

Пример 2. Найти углы, при которых cos θ = −0,5. Переключитесь на вкладку «Ввод значения cos», задайте −0,5. Главный угол: arccos(−0,5) = 120°, второй угол: 360° − 120° = 240°. Оба угла — во II и III четверти, где косинус отрицателен.

Пример 3. В треугольнике со сторонами a = 5, b = 7 и углом γ = 60° между ними найти сторону c. По теореме косинусов: c² = 25 + 49 − 2·5·7·cos 60° = 74 − 35 = 39, откуда c ≈ 6,24.

Связанные калькуляторы