Полный справочник неопределённых интегралов
Основные первообразные
| Функция \(f(x)\) | Первообразная \(F(x)\) | Область определения |
|---|---|---|
| \(k\) (константа) | \(kx + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (при \(n \ne -1\)) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(\mathbb{R}\) (при \(n \geq 0\)), \(\mathbb{R}, x \neq 0\) (при \(n < 0\)) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(\mathbb{R}, x \neq 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle\frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C\) | \(x \geq 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(x > 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(a^x\) (при \(a > 0, a \ne 1\)) | \(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(x \ln x - x + C\) | \(x > 0\) |
| \(\log_a x\) | \(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\) | \(x > 0, a > 0, a \ne 1\) |
Функция f(x)
\(k\) (константа)
Первообразная F(x)
\(kx + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(x^n\) (при \(n \ne -1\))
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\) (при \(n \geq 0\)), \(\mathbb{R}, x \ne 0\) (при \(n < 0\))
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{x}\)
Первообразная F(x)
\(\ln|x| + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}, x \ne 0\)
Функция f(x)
\(\sqrt{x}\)
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{2\sqrt{x^3}}{3} + C\)
Область определения
\(x \geq 0\)
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\)
Первообразная F(x)
\(2\sqrt{x} + C\)
Область определения
\(x > 0\)
Функция f(x)
\(e^x\)
Первообразная F(x)
\(e^x + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(a^x\) (при \(a > 0, a \ne 1\))
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(\ln x\)
Первообразная F(x)
\(x \ln x - x + C\)
Область определения
\(x > 0\)
Функция f(x)
\(\log_a x\)
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\)
Область определения
\(x > 0, a > 0, a \ne 1\)
Тригонометрические функции
| Функция \(f(x)\) | Первообразная \(F(x)\) | Область определения |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tg x\) | \(-\ln|\cos x| + C\) | \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\ctg x\) | \(\ln|\sin x| + C\) | \(x \ne \pi n\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\) | \(\tg x + C\) | \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\) | \(-\ctg x + C\) | \(x \ne \pi n\) |
| \(\sin^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x \cos x\) | \(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C = -\frac{\cos^2 x}{2} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
Функция f(x)
\(\sin x\)
Первообразная F(x)
\(-\cos x + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(\cos x\)
Первообразная F(x)
\(\sin x + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(\tg x\)
Первообразная F(x)
\(-\ln|\cos x| + C\)
Область определения
\(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\)
Функция f(x)
\(\ctg x\)
Первообразная F(x)
\(\ln|\sin x| + C\)
Область определения
\(x \ne \pi n\)
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\)
Первообразная F(x)
\(\tg x + C\)
Область определения
\(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n\)
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x\)
Первообразная F(x)
\(-\ctg x + C\)
Область определения
\(x \ne \pi n\)
Функция f(x)
\(\sin^2 x\)
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(\cos^2 x\)
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(\sin x \cos x\)
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Обратные тригонометрические функции
| Функция \(f(x)\) | Первообразная \(F(x)\) | Область определения |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arccos x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctg x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\) | \(\text{arcctg } x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\arcsin x\) | \(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 \leq x \leq 1\) |
| \(\arccos x\) | \(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 \leq x \leq 1\) |
| \(\arctg x\) | \(x \arctg x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\) | \(\mathbb{R}\) |
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Первообразная F(x)
\(\arcsin x + C\)
Область определения
\(-1 < x < 1\)
Функция f(x)
\(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Первообразная F(x)
\(\arccos x + C\)
Область определения
\(-1 < x < 1\)
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\)
Первообразная F(x)
\(\arctg x + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\)
Первообразная F(x)
\(\text{arcctg } x + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(\arcsin x\)
Первообразная F(x)
\(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\)
Область определения
\(-1 \leq x \leq 1\)
Функция f(x)
\(\arccos x\)
Первообразная F(x)
\(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\)
Область определения
\(-1 \leq x \leq 1\)
Функция f(x)
\(\arctg x\)
Первообразная F(x)
\(x \arctg x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Полезные первообразные
| Функция \(f(x)\) | Первообразная \(F(x)\) | Область определения |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a} \arctg\frac{x}{a} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\) | \(x \ne +a, x \ne -a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\) | \(x \ne +a, x \ne -a\) |
| \(\sqrt{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\) | \(-a \leq x \leq a\) |
| \(\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sqrt{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C\) | \(|x| \geq a\) |
| \(xe^x\) | \((x-1)e^x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\sin x\) | \(\sin x - x\cos x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\cos x\) | \(\cos x + x\sin x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\)
Первообразная F(x)
\(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\)
Первообразная F(x)
\(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\)
Область определения
\(|x| > a\)
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\)
Первообразная F(x)
\(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\)
Область определения
\(|x| < a\)
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\)
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{1}{a} \arctg\frac{x}{a} + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\)
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\)
Область определения
\(x \ne +a, x \ne -a\)
Функция f(x)
\(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\)
Первообразная F(x)
\(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\)
Область определения
\(x \ne +a, x \ne -a\)
Функция f(x)
\(xe^x\)
Первообразная F(x)
\((x-1)e^x + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(x\sin x\)
Первообразная F(x)
\(\sin x - x\cos x + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Функция f(x)
\(x\cos x\)
Первообразная F(x)
\(\cos x + x\sin x + C\)
Область определения
\(\mathbb{R}\)
Основные правила интегрирования
Линейность:
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
Интегрирование по частям:
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
Замена переменной:
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), где \(u = \varphi(x)\)
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), где \(u = \varphi(x)\)
Интегрирование четных функций:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (если \(f(-x) = f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (если \(f(-x) = f(x)\))
Интегрирование нечетных функций:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (если \(f(-x) = -f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (если \(f(-x) = -f(x)\))
Важные примечания
• \(C\) — произвольная постоянная интегрирования
• Все первообразные определены с точностью до постоянной \(C\)
• При вычислении определённых интегралов постоянная \(C\) сокращается
• Область определения указана для подынтегральной функции
• \(\mathbb{R}\) обозначает множество всех вещественных чисел
• \(\tg x\) и \(\ctg x\) также обозначается как \(\tan x\) и \(\cot x\)
Полезные приемы
Тригонометрические подстановки:
• При \(\sqrt{a^2 - x^2}\): \(x = a\sin t\)
• При \(\sqrt{x^2 + a^2}\): \(x = a\tg t\)
• При \(\sqrt{x^2 - a^2}\): \(x = a\sec t\)
• При \(\sqrt{a^2 - x^2}\): \(x = a\sin t\)
• При \(\sqrt{x^2 + a^2}\): \(x = a\tg t\)
• При \(\sqrt{x^2 - a^2}\): \(x = a\sec t\)
Интегрирование рациональных функций:
Разложить на простейшие дроби и интегрировать каждую отдельно
Разложить на простейшие дроби и интегрировать каждую отдельно
Формула Ньютона-Лейбница:
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), где \(F'(x) = f(x)\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), где \(F'(x) = f(x)\)
Универсальная тригонометрическая подстановка:
\(t = \tg\frac{x}{2}\), тогда \(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(t = \tg\frac{x}{2}\), тогда \(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\), \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\)
Ничего не найдено
Попробуйте изменить поисковый запрос или очистить поле поиска
Интерактивная таблица первообразных представляет полный справочник неопределённых интегралов с удобным поиском. Найдите нужную функцию и её первообразную за секунды.
Основная формула:
Если F'(x) = f(x), то ∫f(x)dx = F(x) + C
Если F'(x) = f(x), то ∫f(x)dx = F(x) + C
Возможности поиска
Интеллектуальная система поиска позволяет искать функции как на русском, так и на английском языке. Поддерживается поиск по математическим терминам, названиям функций и символам.
Примеры поиска:
• синус или sin - найдёт все тригонометрические функции с синусом
• логарифм или ln - покажет логарифмические функции
• корень или sqrt - выведет функции с корнями
• синус или sin - найдёт все тригонометрические функции с синусом
• логарифм или ln - покажет логарифмические функции
• корень или sqrt - выведет функции с корнями
Разделы таблицы
- Основные первообразные: степенные функции, константы, корни, дроби
- Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg и их степени
- Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
- Показательные и логарифмические: ex, ax, ln(x), log(x)
- Полезные первообразные: сложные выражения и комбинации функций
Примеры из таблицы
∫xn dx = xn+1/(n+1) + C
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
∫1/x dx = ln|x| + C
∫ex dx = ex + C
∫1/(1+x2) dx = arctg(x) + C
∫1/√(1-x2) dx = arcsin(x) + C
∫tg(x) dx = -ln|cos(x)| + C
∫√x dx = (2x3/2)/3 + C
∫ln(x) dx = x·ln(x) - x + C
Дополнительная информация
Таблица содержит:
- Основные правила интегрирования
- Области определения для каждой функции
- Важные примечания и формулы
- Полезные приёмы интегрирования
- Тригонометрические подстановки
- Формулу Ньютона-Лейбница
Обозначения
Области определения указаны для каждой функции, где ℝ обозначает множество вещественных чисел.
Конфиденциальность: Таблица работает полностью в вашем браузере. Поисковые запросы и данные просмотра не передаются на сторонние серверы, обеспечивая полную приватность использования.
Преимущества
- Мгновенный поиск по русским и английским терминам
- Полная таблица первообразных для студентов и инженеров
- Адаптивный дизайн для мобильных устройств
- Подсветка результатов поиска
- Не требует регистрации или установки
- Оффлайн работа после загрузки страницы
Справочник подходит для студентов математических специальностей, инженеров, преподавателей и всех, кто изучает математический анализ и работает с интегралами.