Законы Кеплера — расчёт периода обращения, большой полуоси и параметров эллиптической орбиты

Калькулятор третьего закона Кеплера T² = 4π²·a³/(GM) с расчётом периода обращения, большой полуоси, параметров эллиптической орбиты (эксцентриситет, перигелий, афелий) и скоростей в этих точках.

T = 2π · √(a³ / (G·M)); G = 6.6743·10⁻¹¹ Н·м²/кг²

Центральное тело

Масса M (кг)

Большая полуось a

Период T

Эксцентриситет e (0 ≤ e < 1)

Большая полуось a₂ (тело 2)

Период тела 1 (T₁)

—

Формулы законов Кеплера

3-й закон (с G): T² = 4π²·a³/(G·M); T = 2π·√(a³/(GM)); a = ∛(G·M·T²/(4π²))

Эллипс: b = a·√(1−e²); c = a·e; q (перицентр) = a(1−e); Q (апоцентр) = a(1+e)

Сравнение тел в одной системе: T₁²/T₂² = a₁³/a₂³; T₁/T₂ = (a₁/a₂)^(3/2)

Vis-viva и скорости в апсидах: v² = GM(2/r − 1/a); v_p = √(GM·(1+e)/(a·(1−e))); v_a = √(GM·(1−e)/(a·(1+e))); v_p·q = v_a·Q

Орбиты планет Солнечной системы

Планета	a, а.е.	Период T	e
Меркурий	0.387	87.97 сут	0.2056
Венера	0.723	224.7 сут	0.0068
Земля	1.000	365.25 сут	0.0167
Марс	1.524	686.97 сут (1.881 г)	0.0934
Юпитер	5.203	11.86 года	0.0489
Сатурн	9.537	29.46 года	0.0565
Уран	19.19	84.01 года	0.0457
Нептун	30.07	164.79 года	0.0113
Комета Галлея	17.83	75.32 года	0.967

FAQ

Какие три закона Кеплера?

1) Орбита каждой планеты — эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. 2) Радиус-вектор от Солнца к планете за равные промежутки времени описывает равные площади (закон площадей — следствие сохранения момента импульса). 3) Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей орбит: T²/a³ = const = 4π²/(G·M). Эти законы Иоганн Кеплер сформулировал в 1609–1619 годах на основе наблюдений Тихо Браге.

Что такое эксцентриситет орбиты?

Эксцентриситет e — безразмерная величина, характеризующая «вытянутость» орбиты. При e = 0 орбита круговая, при 0 < e < 1 — эллиптическая, при e = 1 — параболическая (тело улетает на бесконечность с нулевой скоростью), при e > 1 — гиперболическая. Эксцентриситет связан с большой и малой полуосями: e = √(1 − b²/a²) = c/a, где c — расстояние от центра эллипса до фокуса. У Земли e ≈ 0.0167 (почти круг), у кометы Галлея e ≈ 0.967 (вытянутая).

Сколько лет вращается Юпитер вокруг Солнца?

Период обращения Юпитера T ≈ 11.86 земного года. Расчёт по 3-му закону Кеплера: a = 5.203 а.е. = 7.785·10¹¹ м, GM_солнца = 1.327·10²⁰ м³/с². T = 2π·√(a³/(GM)) = 2π·√((7.785·10¹¹)³/1.327·10²⁰) ≈ 3.74·10⁸ с ≈ 11.86 года. За один оборот Юпитера Земля совершает почти 12 оборотов.

Что такое перигелий и афелий?

Перигелий — ближайшая к Солнцу точка эллиптической орбиты, расстояние q = a·(1 − e). Афелий — самая удалённая точка, Q = a·(1 + e). Для Земли: q ≈ 0.9833 а.е. (147.1 млн км, начало января), Q ≈ 1.0167 а.е. (152.1 млн км, начало июля). Для орбит вокруг Земли используют термины перигей/апогей, вокруг произвольного тела — перицентр/апоцентр. Сумма q + Q = 2a (большая ось эллипса).

Почему период МКС около 92 минут?

МКС летает по почти круговой орбите на высоте ~408 км. Большая полуось a = R_земли + h = 6371 + 408 = 6779 км = 6.779·10⁶ м. По 3-му закону: T = 2π·√(a³/(GM_земли)) = 2π·√((6.779·10⁶)³ / (6.6743·10⁻¹¹·5.9722·10²⁴)) ≈ 5560 с ≈ 92.7 минуты. За сутки станция совершает около 15.5 витков, пересекая 16 рассветов.

Какая скорость кометы Галлея в перигелии?

У кометы Галлея a = 17.83 а.е. = 2.668·10¹² м, e = 0.967. По формуле v_p = √(GM·(1+e)/(a·(1−e))) = √(1.327·10²⁰·1.967/(2.668·10¹²·0.033)) ≈ 5.45·10⁴ м/с ≈ 54.5 км/с. В афелии скорость падает до v_a ≈ 0.91 км/с — закон сохранения момента импульса: v_p·q = v_a·Q. Перигелий q ≈ 0.586 а.е. (внутри орбиты Венеры), афелий Q ≈ 35.07 а.е. (за орбитой Нептуна).

Инструмент рассчитывает орбитальные параметры по третьему закону Кеплера T²/a³ = 4π²/(GM): период обращения по большой полуоси, обратную задачу — большую полуось по периоду, параметры эллипса (малая полуось b = a·√(1−e²), перицентр q = a(1−e), апоцентр Q = a(1+e), c = a·e), сравнение T₁/T₂ = (a₁/a₂)^(3/2) для двух тел в одной системе и скорости в перигее и апогее по теореме vis-viva. Выберите центральное тело (Солнце, Земля, Юпитер, Луна) или задайте M, режим расчёта и параметры орбиты. Пример: Земля при a = 1 а.е. вокруг Солнца имеет T = 2π·√((1.496·10¹¹)³/(6.674·10⁻¹¹·1.989·10³⁰)) ≈ 3.156·10⁷ с = 1 год. Комета Галлея с a = 17.83 а.е. и e = 0.967 даёт T ≈ 75.3 года, перигелий q ≈ 0.586 а.е., афелий Q ≈ 35.07 а.е., скорость в перигелии ≈ 54.5 км/с.