ДомойБез рубрикиЗамедление времени и сокращение длины — расчёт СТО
Замедление времени и сокращение длины — расчёт СТО
Калькулятор эффектов специальной теории относительности: замедление времени Δt’=γΔt₀, сокращение длины L=L₀/γ, γ-фактор, релятивистское сложение скоростей и парадокс близнецов с пресетами мюонов, GPS и LHC.
Δt' = γ · Δt₀; γ = 1/√(1 − β²); β = v/c
—
Формулы СТО
Лоренц-фактор:γ = 1/√(1 − β²), где β = v/c, c = 299 792 458 м/с
Замедление времени:Δt' = γ · Δt₀ — движущиеся часы идут медленнее в γ раз для неподвижного наблюдателя. Δt₀ — собственное время (показания часов в их собственной системе).
Сокращение длины (Лоренца):L = L₀/γ — линейные размеры вдоль направления движения уменьшаются в γ раз. L₀ — собственная длина в системе покоя объекта.
Релятивистское сложение скоростей:u' = (u + v)/(1 + u·v/c²) — гарантирует, что результирующая скорость не превысит c.
Релятивистский импульс:p = γ · m · v — при малых v совпадает с классическим p = mv, при v → c стремится к бесконечности.
γ-фактор при разных скоростях
β = v/c
γ-фактор
Замедление часов
Сокращение длины
0.1
1.005
+0.5%
−0.5%
0.3
1.048
+4.8%
−4.6%
0.5
1.155
+15.5%
−13.4%
0.7
1.400
+40.0%
−28.6%
0.9
2.294
+129%
−56.4%
0.99
7.089
×7.09
−85.9%
0.999
22.366
×22.4
−95.5%
0.9999
70.71
×70.7
−98.6%
0.99999
223.6
×223.6
−99.55%
FAQ
Что такое собственное время и собственная длина?
Собственное время Δt₀ — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам, для которых оба события происходят в одной точке (например, по часам, движущимся вместе с распадающейся частицей). Собственная длина L₀ — длина объекта в той системе отсчёта, где он покоится. Это инварианты: их значения минимальны во всех инерциальных системах. В любой другой системе наблюдатель измерит большее время (Δt' > Δt₀) и меньшую длину (L < L₀) — таково содержание преобразований Лоренца.
Как работает парадокс близнецов?
Один близнец остаётся на Земле, второй летит на ракете со скоростью v ≈ c к звезде на расстоянии D и возвращается. Для землянина рейс занимает t = 2D/v, для астронавта собственное время t' = 2D/(γv) — оно меньше в γ раз. По возвращении путешественник окажется моложе. Парадокса нет: ситуации не симметричны — астронавт испытывает ускорение при развороте, а землянин — нет. Эффект подтверждён экспериментально в 1971 г. (атомные часы Хафеле–Китинга на самолётах).
Почему мюоны долетают до Земли, хотя их время жизни 2.2 мкс?
Мюоны рождаются в верхних слоях атмосферы (≈15 км) при столкновениях космических лучей с ядрами воздуха. При среднем времени жизни τ₀ = 2.197 мкс они даже на скорости света успели бы пройти лишь ≈660 м. Но из-за замедления времени их «лабораторное» время жизни τ' = γ·τ₀: при v = 0.999c (γ ≈ 22.4) это уже τ' ≈ 49 мкс, и средний пробег ≈ 14.7 км. С точки зрения мюона работает сокращение длины: 15 км атмосферы для него — лишь 670 м. Оба описания дают одинаковый результат — мюон достигает поверхности.
При каких скоростях релятивистскими эффектами можно пренебречь?
Грубое правило: если v < 0.1c (≈30 000 км/с), γ отличается от 1 меньше чем на 0.5% и ньютоновская механика работает с погрешностью < 1%. Для самолёта (v ≈ 250 м/с) γ − 1 ≈ 3.5·10⁻¹³ — поправка пренебрежимо мала. Для МКС (v ≈ 7.7 км/с) — γ − 1 ≈ 3.3·10⁻¹⁰. Для спутников GPS (v ≈ 3.87 км/с) поправка уже значима для точного позиционирования и обязательно учитывается. Релятивистские эффекты становятся сильными при v > 0.5c — в ускорителях, в распадах элементарных частиц, в струях квазаров.
Чем отличается классическое сложение скоростей от релятивистского?
Классически (Галилей): u_рез = u + v — скорости складываются арифметически. Релятивистски (Эйнштейн): u_рез = (u + v)/(1 + u·v/c²). При u, v ≪ c знаменатель ≈ 1 и обе формулы совпадают. Но если u = v = 0.8c, классически получим 1.6c (что физически невозможно), а релятивистски — (0.8 + 0.8)/(1 + 0.64) = 1.6/1.64 ≈ 0.976c. Скорость света — предельная: при сложении любых v < c результат всегда меньше c.
Зачем GPS учитывает СТО и ОТО?
Спутники GPS летят на высоте ≈20 200 км со скоростью ≈3.87 км/с. Из-за СТО (замедление времени от движения) бортовые часы отстают примерно на 7 мкс/сутки. Из-за ОТО (на высоте гравитация слабее — часы идут быстрее) часы убегают вперёд на ≈45 мкс/сутки. Чистый эффект: спутниковые часы спешат на ≈38 мкс/сутки относительно земных. Без учёта этой поправки накапливаемая ошибка координаты составляла бы ≈11 км/сутки, и навигация была бы невозможна. Частоту бортовых генераторов сдвигают заранее (10.22999999543 МГц вместо 10.23 МГц), чтобы скомпенсировать эффект.
Калькулятор реализует пять режимов расчётов по специальной теории относительности Эйнштейна. Режим A — замедление времени: по собственному времени Δt₀ и скорости v вычисляет лабораторное Δt’=γΔt₀; обратный режим находит скорость по отношению Δt’/Δt₀. Режим B — лоренцево сокращение длины: L=L₀/γ для движущегося объекта; обратный режим определяет v по L₀/L. Режим C — расчёт γ-фактора и β=v/c; даёт поправку ½β² (классический предел) и сравнение с релятивистской КЭ (γ−1)mc². Режим D — релятивистское сложение скоростей u’=(u−v)/(1−uv/c²) и обратное сложение u_рез=(u+v)/(1+uv/c²); сравнивает с галилеевским u±v. Режим E — парадокс близнецов: по времени Δt по часам Земли и v вычисляет собственное время астронавта Δt_корабль=Δt/γ. Поддержка единиц времени (с, мс, мкс, нс, мин, час, сутки, лет), длины (м, км, а.е., св. лет, парсек), скорости (м/с, км/с, км/ч, доля c). Пресеты: мюон в атмосфере (τ₀=2.197 мкс при v=0.999c, γ≈22.4), полёт к Альфе Центавра 4.367 св. лет при v=0.95c, GPS-спутник v≈3874 м/с (поправка времени за сутки), Проксима Центавра 4.246 св. лет при v=0.5c, протоны LHC при v=0.999999991c (γ≈7460). Защита: v<c, Δt'≥Δt₀, L≤L₀.