Калькулятор формулы сферического зеркала 1/F = 1/d + 1/f с расчётом расстояния до изображения, фокусного расстояния, радиуса кривизны F = R/2 и линейного увеличения Γ = −f/d для вогнутых (F>0) и выпуклых (F<0) зеркал с классификацией изображения.
1/F = 1/d + 1/f → f = d·F / (d − F); Γ = −f / d
—
Формулы сферического зеркала
Уравнение зеркала: 1/F = 1/d + 1/f, где d — расстояние до предмета, f — до изображения, F — фокусное расстояние.
Связь F и радиуса кривизны: F = R / 2 (R>0 для вогнутого, R<0 для выпуклого).
Линейное увеличение: Γ = −f / d = h_изобр / h_предм. Знак «−» отражает правило знаков: при действительном изображении (f>0) Γ<0 — изображение перевёрнуто.
Правило знаков: вогнутое — F>0, R>0; выпуклое — F<0, R<0; f>0 — изображение действительное (перед зеркалом), f<0 — мнимое (за зеркалом).
Применение зеркал
| Тип | F и R | Применение |
|---|---|---|
| Вогнутое | F>0, R>0 | Зеркала телескопов (Кассегрен, Ньютон), фары автомобиля и прожекторы (источник в фокусе → параллельный пучок), стоматологическое зеркало (увеличение при d<F), солнечные концентраторы. |
| Выпуклое | F<0, R<0 | Автомобильные зеркала заднего вида (широкий обзор), охранные зеркала в магазинах и банках, угловые зеркала в коридорах и на парковках. |
| Плоское | F=∞, R=∞ | Бытовые зеркала, перископы, лазерные системы — изображение мнимое, прямое, в натуральную величину (Γ = +1). |
FAQ
Чем зеркало отличается от линзы по физике?
Зеркало работает на отражении света от металлической или диэлектрической плёнки, линза — на преломлении на двух границах раздела стекло/воздух. Формулы по виду одинаковые: 1/F = 1/d + 1/f и F = R/2 для зеркала, 1/F = (n−1)·(1/R₁ − 1/R₂) для линзы. Но зеркало не зависит от длины волны (нет хроматической аберрации), поэтому в крупных телескопах (Хаббл, JWST, Кек) применяют именно зеркала. У линз есть преимущество компактности и работа «на просвет», у зеркал — отсутствие дисперсии и возможность сделать апертуру очень большой.
Как пользоваться правилом знаков для зеркал?
Принимаем: предмет всегда перед зеркалом (d>0). Вогнутое зеркало имеет F>0 и R>0, выпуклое — F<0 и R<0. Для расстояния до изображения: f>0, если изображение перед зеркалом (действительное, можно поймать на экран); f<0, если за зеркалом (мнимое, видно только при взгляде в зеркало). Линейное увеличение Γ = −f/d: знак минус заложен в определении, чтобы перевёрнутое изображение давало Γ<0, прямое — Γ>0. |Γ|>1 — увеличенное, |Γ|<1 — уменьшенное, |Γ|=1 — в натуральную величину.
Что такое центр кривизны и фокус сферического зеркала?
Сферическое зеркало — часть сферы радиуса R. Центр этой сферы C — центр кривизны, отрезок от вершины зеркала до C равен R. Фокус F — точка, в которой сходятся (или из которой расходятся для выпуклого) лучи параллельные оптической оси после отражения. Для параксиальных лучей (близких к оси) F = R/2: фокус лежит ровно посередине между вершиной зеркала и центром кривизны. У реальных широких пучков появляется сферическая аберрация: лучи у краёв сходятся ближе к зеркалу, чем приосевые, поэтому в качественных телескопах используют параболические зеркала.
Почему вогнутое зеркало даёт два разных типа изображения?
Поведение зависит от расстояния d по сравнению с F. Если d>F — лучи после отражения сходятся перед зеркалом, образуется действительное перевёрнутое изображение (можно проецировать на экран). При d=2F=R изображение в натуральную величину; при F<d<2F — увеличенное; при d>2F — уменьшенное. Если d<F (предмет ближе фокуса) — отражённые лучи расходятся, продолжения «за зеркалом» сходятся в мнимом увеличенном прямом изображении — таков принцип бритвенного и косметического зеркала. При d=F получаем параллельный пучок (f→∞) — это режим работы автомобильной фары: лампа в фокусе → дальний свет.
Почему выпуклое зеркало всегда даёт уменьшенное прямое изображение?
У выпуклого зеркала F<0: уравнение 1/f = 1/F − 1/d при любом d>0 даёт f<0 и |f|<|F|, |f|<d. Изображение всегда мнимое (за зеркалом), прямое и уменьшенное (Γ>0, |Γ|<1). Это полезно: на той же площади «помещается» больше пространства — отсюда применение в зеркалах заднего вида автомобиля и охранных зеркалах в магазинах. Расплата — искажение масштаба: «объекты в зеркале ближе, чем кажутся» (стандартная надпись на правом боковом зеркале американских машин).
Зачем в фарах автомобиля используют параболические зеркала?
Если поместить точечный источник света точно в фокус параболоида, все отражённые лучи пойдут параллельно оси — получится узкий далеко бьющий пучок (дальний свет). Сферическое вогнутое зеркало даёт похожий эффект только для приосевых лучей; широкие пучки рассеиваются из-за сферической аберрации. Параболическая форма математически устраняет аберрацию для параллельного пучка. Современные фары используют сложные рефлекторы или линзы Френеля, но физика та же: лампа в фокусе зеркала, F = R/2 определяет геометрию.
Калькулятор решает уравнение сферического зеркала 1/F = 1/d + 1/f и связанные формулы F = R/2, Γ = −f/d в пяти режимах: расстояние до изображения f по d и F, обратная задача d по f, фокусное расстояние F по d и f, перевод радиуса кривизны R в фокус F, линейное увеличение Γ. Тип зеркала задаётся переключателем: вогнутое (F>0, R>0) даёт действительное перевёрнутое изображение при d>F (телескопы, фары) или мнимое прямое увеличенное при d<F (зеркало для бритья); выпуклое (F<0, R<0) всегда даёт мнимое прямое уменьшенное изображение (зеркало заднего вида, охранные). Поддерживаются мм, см, м для всех длин. Пример: вогнутое F = 20 см, предмет на d = 30 см → f = 60 см, Γ = −2 — действительное перевёрнутое, увеличено в 2 раза.