Калькулятор тангенса — tg, таблица, асимптоты графика

Введите угол в градусах или радианах — калькулятор вернёт tg θ, а также sin, cos и ctg. Двигайте точку P по единичному кругу мышью или пальцем: красная касательная линия x = 1 показывает длину тангенса как отрезок от оси Ox до пересечения с лучом OP. Ниже — график y = tg(x) с вертикальными пунктирными асимптотами на π/2 и 3π/2, таблица специальных значений (0°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 120°, 180°) и ключевые формулы: tg α = sin α / cos α, tg(α + β), нечётность и период π.

Что такое тангенс угла

Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. В прямоугольном треугольнике это отношение противолежащего катета к прилежащему. В тригонометрическом круге единичного радиуса тангенс наглядно строится так: проводим вертикальную касательную к окружности в точке (1; 0), а из центра через точку P на окружности пускаем луч. Длина отрезка на касательной от оси Ox до точки пересечения с лучом и есть tg α — именно этот отрезок выделен в калькуляторе красным.

Область определения и асимптоты

Тангенс не определён там, где cos α = 0, то есть при α = π/2 + πk (90°, 270°, 450° и так далее). В этих точках функция y = tg(x) уходит в плюс или минус бесконечность — на графике они изображаются вертикальными пунктирными линиями (асимптотами) на π/2 и 3π/2. Область значений тангенса — вся числовая прямая: от −∞ до +∞. В интервале (−π/2; π/2) функция непрерывна и строго возрастает, принимая любое действительное значение ровно один раз.

Периодичность и чётность тангенса

В отличие от синуса и косинуса с периодом 2π, тангенс имеет наименьший положительный период π: tg(α + π) = tg α. Это видно по графику — узор «ветви» между соседними асимптотами повторяется каждые π радиан (180°). Функция нечётная: tg(−α) = −tg α, то есть график симметричен относительно начала координат. Следствие — для отрицательного угла достаточно вычислить тангенс модуля и поставить минус; для угла больше π можно отнять нужное число π и работать с остатком в интервале (−π/2; π/2).

Таблица тангенсов основных углов

Формулы сложения и двойного угла

Для суммы и разности аргументов:

• tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)
• tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β)
• tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α) — тангенс двойного угла
• tg(α/2) = sin α / (1 + cos α) = (1 − cos α) / sin α — половинного угла

Из основного тригонометрического тождества sin² α + cos² α = 1 и определения тангенса следует связь 1 + tg² α = 1 / cos² α, которая часто нужна при выводе косинуса через тангенс в задачах по тригонометрии.

Применение тангенса в геометрии и на практике

Тангенс появляется в прямоугольном треугольнике как отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A = a / b. Если известен один катет и острый угол, второй катет находится как a = b · tg A. Это базовый приём в строительстве и геодезии при расчёте уклонов кровли, лестниц, пандусов: уклон в процентах — это 100 · tg α, где α — угол подъёма над горизонтом. В физике через тангенс выражают коэффициент наклона прямой на графике, в оптике — угол преломления в узком приближении, в механике — коэффициент трения покоя на пределе скольжения (tg φ = μ).

Примеры расчёта

• Стропильная нога с уклоном 30°: перепад высот на 4 м горизонтали = 4 · tg 30° ≈ 4 · 0,5774 ≈ 2,31 м.
• Пандус с уклоном 5% (tg α = 0,05) поднимается на 1 м на каждые 20 м длины; угол α ≈ arctg 0,05 ≈ 2,86°.
• Лестница в 1,5 м высотой и 2 м по горизонтали даёт угол α = arctg(1,5 / 2) = arctg 0,75 ≈ 36,87°.
• tg 45° = 1 — квадратная диагональ делит угол пополам; tg 60° = √3 — равносторонний треугольник, опущенная высота.

Смотрите также: арктангенс, котангенс, график y = tg x, тангенс двойного угла, из тангенса в градусы/радианы, тригонометрическая таблица.