Связь cos и tg — тождества tg = sin/cos и формулы

Связь тангенса и косинуса

Тангенс и косинус связаны через синус и основное тригонометрическое тождество. По определению tg α = sin α / cos α, поэтому значение tg однозначно задаётся парой (sin α, cos α). Удобнее всего эту связь видеть на единичном круге: cos α — проекция точки окружности на ось X, sin α — на ось Y, а tg α — отрезок на касательной x = 1, отсекаемый продолжением радиус-вектора.

Основное тождество 1 + tg²α = 1/cos²α

Из базового тождества sin²α + cos²α = 1 разделим обе части на cos²α (cos α ≠ 0) и получим:

1 + tg²α = 1 / cos²α

Отсюда выражается модуль косинуса через тангенс:

|cos α| = 1 / √(1 + tg²α)

Знак cos α выбирается по четверти, в которой находится угол: в I и IV cos α > 0, во II и III cos α < 0.

Вывод формулы cos через tg

Пусть известен tg α = t. Тогда из 1 + t² = 1/cos²α получаем cos²α = 1/(1 + t²), а значит
cos α = ±1 / √(1 + t²). Синус находится через cos и tg: sin α = tg α · cos α = ±t / √(1 + t²). Когда α лежит в промежутке (−π/2, π/2), знак плюс, и формула упрощается до однозначной cos α = 1 / √(1 + t²).

Таблица частых значений

Применение

Формулы связи cos и tg нужны в школьной тригонометрии (упрощение выражений, решение уравнений), в физике (разложение сил на наклонной плоскости, маятник), в геодезии и строительстве (уклоны, углы крыш), а также в программировании 2D/3D-графики, где тангенс угла наклона часто используется вместе с косинусом для расчёта проекций.

Примеры

Пример 1. Дано cos α = 0,6, α — острый. Тогда sin α = √(1 − 0,36) = 0,8, а tg α = 0,8 / 0,6 ≈ 1,333.

Пример 2. Дано tg α = 2, α в I четверти. Тогда cos α = 1 / √(1 + 4) = 1/√5 ≈ 0,4472, sin α = 2/√5 ≈ 0,8944.

Интерактивный круг выше показывает все три отрезка одновременно: синий — cos, красный — sin, зелёный — tg на касательной. Вводите любое из трёх полей — два других пересчитаются автоматически.