ДомойБез рубрикиДвижение тела, брошенного под углом к горизонту — расчёт траектории
Движение тела, брошенного под углом к горизонту — расчёт траектории
Расчёт дальности, максимальной высоты, времени полёта и траектории тела, брошенного под углом к горизонту, с возможностью старта с высоты h₀.
L = v₀²·sin(2α) / g; H = (v₀·sin α)² / (2g); T = 2v₀·sin α / g
—
Формулы движения тела, брошенного под углом
Старт с земли (h₀=0):L = v₀²·sin(2α)/g; H = v₀²·sin²α/(2g); T = 2v₀·sin α/g
Старт с высоты h₀:T = (v₀·sin α + √((v₀·sin α)² + 2g·h₀))/g; L = v₀·cos α · T; H_max = h₀ + v₀²·sin²α/(2g)
Координаты в момент t:x(t) = v₀·cos α · t; y(t) = h₀ + v₀·sin α · t − ½g·t²
Скорость в момент t:vₓ = v₀·cos α (постоянна); v_y(t) = v₀·sin α − g·t; |v(t)| = √(vₓ² + v_y²)
FAQ
При каком угле дальность максимальна?
При старте и финише на одной высоте — максимум при α = 45°: sin(2·45°) = 1. При старте с высоты h₀ > 0 (например, из ладони человека на 1.7 м) оптимальный угол меньше 45° — для скорости 20 м/с и h₀ = 1.7 м оптимум ≈ 42–43°. Чем выше h₀ относительно v₀²/g, тем сильнее оптимум смещается вниз.
Дают ли углы α и (90°−α) одинаковую дальность?
Да, при старте с земли. Для одной и той же v₀ дальности при углах 30° и 60°, 35° и 55°, 40° и 50° совпадают: sin(2·30°) = sin(2·60°) = sin 60° ≈ 0.866. Низкий угол даёт короткое время полёта и плоскую траекторию (выбирают для настильной стрельбы), высокий — долгое время и большую максимальную высоту (навесная траектория).
Как влияет высота старта h₀ на дальность?
Снаряд при h₀ > 0 летит дольше — после прохождения максимума он продолжает падать ниже точки старта на h₀, а это дополнительное время даёт прирост горизонтального пути. Полное время полёта T = (v₀·sin α + √((v₀·sin α)² + 2g·h₀))/g. Дальность L = v₀·cos α · T. Поэтому толкатели ядра выпускают снаряд под углом ≈ 40° (а не 45°) с высоты ≈ 2 м, получая до 1–2 м прироста по сравнению с теоретическим.
Как найти угол, чтобы попасть в заданную точку?
При фиксированных v₀ и L (горизонтальная цель на той же высоте) уравнение L = v₀²·sin(2α)/g даёт два решения: α₁ = ½·arcsin(Lg/v₀²) и α₂ = 90° − α₁. Если Lg/v₀² > 1 — попасть невозможно (требуется большая скорость). Например, для v₀ = 20 м/с и L = 30 м: arcsin(30·9.81/400) = arcsin(0.736) ≈ 47.4°; α₁ ≈ 23.7°, α₂ ≈ 66.3°.
Почему в реальности дальность меньше расчётной?
Все формулы предполагают идеальные условия: отсутствие сопротивления воздуха, постоянное g, плоская поверхность. Сопротивление воздуха (Fс ∝ v²) уменьшает дальность тем сильнее, чем выше скорость и меньше масса/площадь. Для пули, мяча, ядра разница может составлять 10–40%. Также влияют ветер, вращение Земли (Кориолис на больших дистанциях) и форма снаряда (подъёмная сила, эффект Магнуса).
Калькулятор решает три задачи о движении снаряда (баллистике): прямой расчёт по v₀ и углу, расчёт со старта на высоте h₀ (например, толкание ядра, бросок с балкона), обратная задача — найти угол при заданной дальности (две траектории: низкая и высокая). Используются классические формулы L = v₀²·sin(2α)/g, H_max = v₀²·sin²α/(2g), T = 2v₀·sin α/g без сопротивления воздуха. При старте с высоты время полёта продлевается: T = (v₀·sin α + √((v₀·sin α)² + 2g·h₀))/g, и оптимальный угол смещается ниже 45°. Калькулятор также строит траекторию полёта в SVG с отметкой максимума и дальности. Поддерживается выбор планеты (Земля, Луна, Марс, Юпитер) для расчётов вне Земли. Пример: камень, брошенный со скоростью 20 м/с под углом 45° на Земле, пролетит L ≈ 40.8 м, поднимется на H ≈ 10.2 м, время полёта T ≈ 2.88 с. Толкание ядра с высоты 2.1 м под углом 42° при v₀ = 14 м/с даёт дальность ≈ 22.1 м.