Складывайте любое количество векторов методом треугольника или параллелограмма. Перетаскивайте концы прямо на диаграмме, видите проекции на оси, получайте пошаговое решение и сохраняйте результат в PNG, JPG или PDF
Настройки диаграммы
Пошаговое решение
Что такое векторная диаграмма и зачем она нужна
Векторная диаграмма — это графическое изображение нескольких векторных величин в общей системе координат. С её помощью наглядно показывают, как складываются силы, скорости, ускорения, импульсы, напряжённости полей, токи и напряжения переменного тока. В отличие от формул, диаграмма мгновенно показывает направление результирующего вектора и взаимное расположение слагаемых, поэтому её используют в школьной и вузовской физике, в электротехнике, в навигации, в инженерных расчётах и в курсе теоретической механики.
Наш конструктор строит диаграмму автоматически: вы вводите модули и углы (или проекции на оси X и Y), а программа откладывает векторы в масштабе, рисует результирующий вектор и показывает все его параметры — длину, угол наклона, проекции, а также углы между парами векторов.
Основные формулы сложения векторов
Если задан вектор a с модулем a и углом α к оси X, его проекции:
ax = a · cos(α)
ay = a · sin(α)
Сумма N векторов через проекции:
Rx = Σ ai,x // сумма проекций на X
Ry = Σ ai,y // сумма проекций на Y
|R| = √(Rx² + Ry²)
αR = atan2(Ry, Rx)
Для двух векторов через теорему косинусов (φ — угол между ними):
|R| = √(a² + b² + 2·a·b·cos(φ))
Метод треугольника и метод параллелограмма
Метод треугольника
Векторы откладываются последовательно: начало второго ставится в конец первого, начало третьего — в конец второго и так далее. Результирующий вектор соединяет начало первого с концом последнего. Удобен для трёх и более слагаемых — получается ломаная, замыкающаяся итоговой стрелкой.
Метод параллелограмма
Два вектора откладываются из общей точки. На них достраивается параллелограмм, диагональ которого, выходящая из той же точки, и есть сумма. Классический школьный приём для двух сил, действующих в одной точке тела.
Через проекции на оси
Универсальный аналитический способ: раскладываем каждый вектор на компоненты по осям X и Y, складываем отдельно по каждой оси, а затем восстанавливаем модуль и угол результата. Так считает наш калькулятор внутри — поэтому количество векторов неограничено.
Где применяются векторные диаграммы
Физика и механика
Сложение сил, действующих на тело (вес, нормальная реакция, сила трения, натяжение нити); нахождение равнодействующей; разложение силы тяжести на скате наклонной плоскости; сложение скоростей при движении лодки по реке или самолёта при боковом ветре; анализ импульсов до и после столкновения.
Электротехника и электроника
Векторные диаграммы токов и напряжений в цепях переменного тока, расчёт активной, реактивной и полной мощности, треугольник сопротивлений, фазовые соотношения в RLC-цепях, диаграммы для трёхфазных систем.
Навигация и геодезия
Расчёт пути судна или самолёта с учётом сноса течением или ветром, прокладка курса, определение результирующего перемещения по нескольким галсам.
Инженерия и строительство
Расчёт усилий в стержнях ферм, анализ нагрузок на узлы конструкций, определение направления и величины суммарной реакции в опорах.
Как пользоваться конструктором
- Введите векторы. Слева задайте модуль и угол каждого вектора. Имя (A, B, C, …) можно отредактировать.
- Добавляйте сколько нужно. Кнопка «Добавить вектор» создаёт новую строку — лимита нет.
- Перетаскивайте мышью. Тяните за наконечник вектора прямо на диаграмме — модуль и угол обновятся автоматически.
- Откройте «Настройки», если нужно. По умолчанию интерфейс простой; в настройках включаются проекции на оси, углы, привязка к сетке, тёмный фон.
- Смотрите ответ. Модуль и угол результирующего вектора, его проекции Rx и Ry отображаются мгновенно. Пошаговое решение раскрывается отдельной панелью.
- Сохраните диаграмму в PNG, JPG или PDF — для отчёта, лабораторной или презентации.
Готовые шаблоны для типовых задач
В верхней панели конструктора кнопка «Готовые шаблоны» открывает каталог типовых задач. Один клик — и на холсте оказываются нужные векторы в верных пропорциях и углах. Шаблон можно сразу редактировать: менять модули, углы, добавлять или удалять векторы, переключать метод сложения.
Электротехника
- Трёхфазная система напряжений (звезда) — три фазы 220 В со сдвигом 120°. Симметричная звезда: сумма фазных напряжений равна нулю, что и видно на диаграмме.
- Треугольник мощностей — активная P, реактивная Q и полная S мощности. Связаны через
S = √(P² + Q²)иcos φ = P / S. - RLC, индуктивная нагрузка — напряжение на резисторе и катушке. UL опережает UR на 90°, ток в цепи отстаёт от приложенного напряжения.
- RLC, ёмкостная нагрузка — UC отстаёт от UR на 90°, ток опережает напряжение.
- Полная RLC-цепь — три вектора: UR, UL и UC. Реактивные составляющие частично компенсируют друг друга.
- Треугольник сопротивлений — активное R, реактивное X и полное Z. Тот же прямоугольный треугольник, что и для мощностей.
Механика и физика
- Равновесие трёх сил — три равные силы под углами 0°, 120°, 240°. В треугольном построении получается замкнутый правильный треугольник: равнодействующая равна нулю.
- Силы на наклонной плоскости — разложение силы тяжести на компоненту вдоль ската и нормальную реакцию.
- Сложение двух сил под углом — классический школьный сюжет: метод параллелограмма для двух сил, приложенных в одной точке.
- Движение лодки против течения — векторное сложение собственной скорости лодки и скорости течения.
- Тело, брошенное под углом — разложение начальной скорости на горизонтальную и вертикальную составляющие.
- Сила трения и тяги — противоположно направленные векторы, равнодействующая определяет ускорение.
Навигация
- Курс судна со сносом — истинная скорость судна и скорость течения; результат — путевая скорость и угол сноса.
- Самолёт с боковым ветром — то же построение для авиации, помогает рассчитать поправку курса.
- Многоэтапный маршрут — последовательность отрезков с разными курсами, итоговое перемещение — векторная сумма.
Техническая справка
Принципы вычислений
Внутри конструктор работает аналитически. Каждый вектор представляется парой (модуль, направление), которая преобразуется в проекции на оси X и Y. Дальнейшие операции выполняются над компонентами:
ax = |a| · cos α
ay = |a| · sin α
// сумма N векторов
Rx = a1x + a2x + … + aNx
Ry = a1y + a2y + … + aNy
|R| = √(Rx² + Ry²)
αR = atan2(Ry, Rx)
Функция atan2 возвращает угол в диапазоне (−π, π], корректно различая четверти координатной плоскости.
Это надёжнее arctg(Ry/Rx), которая теряет квадрант.
Связь с теоремой косинусов
Для двух векторов a и b с углом φ между ними:
|R|² = |a|² + |b|² + 2·|a|·|b|·cos φ
// угол между R и a
sin γ / |b| = sin φ / |R| (теорема синусов)
В нашем калькуляторе теорема косинусов не используется напрямую — обобщение на N векторов через компоненты дешевле и точнее. Формула приведена для проверки результатов и для классических школьных задач.
Системы координат и режимы построения
- Метод треугольника — каждый последующий вектор откладывается из конца предыдущего. Удобен для последовательностей перемещений, разложения сил по этапам и для большого числа слагаемых.
- Метод параллелограмма — все векторы откладываются из общей точки; результат — диагональ построенного параллелограмма (только для двух векторов диагональ строится явно, для большего числа результат всё равно сумма).
- Свободное размещение — каждый вектор имеет собственные координаты начала
(X₀, Y₀). Этот режим нужен для статических задач, в которых силы приложены к разным точкам тела, а также для построения замкнутых полигонов (например, поверочной диаграммы трёхфазной системы).
Обозначения и единицы
| Обозначение | Смысл | Единицы (типично) |
|---|---|---|
| |a|, A | Модуль (длина) вектора | Н, м/с, м, В, А, Ом |
| α, φ, θ | Угол к оси X или между векторами | ° или рад |
| ax, ay | Проекции на оси координат | те же, что у |a| |
| R | Результирующий (суммарный) вектор | — |
| cos φ | Коэффициент мощности в электротехнике | безразмерный, 0…1 |
| P, Q, S | Активная, реактивная, полная мощности | Вт, ВАр, ВА |
Точность и численная устойчивость
Все расчёты ведутся в формате double (64-битное IEEE-754, ~15 значащих десятичных цифр). Для типичных инженерных и учебных задач этого с запасом достаточно.
Округление результата на экране управляется параметром «Знаков после запятой» в настройках (от 0 до 4). Внутреннее представление не округляется — поэтому повторная подстановка ответа в новый расчёт не теряет точности.
Экспорт: что попадает в файл
- PNG — растровое изображение с прозрачностью (при белом фоне — белый, при тёмном — тёмный). Разрешение 2× от размера холста.
- JPG — растровое, без прозрачности, качество 92. Подходит для вставки в Word и в мессенджеры.
- PDF — A4 (книжная или альбомная ориентация выбирается автоматически по форме диаграммы), содержит изображение, таблицу исходных векторов и подписанный результирующий вектор с пояснением метода. Кириллица поддерживается шрифтом Roboto, встроенным в документ.