ДомойБез рубрикиПериод маятника — расчёт T для математического, пружинного и физического
Период маятника — расчёт T для математического, пружинного и физического
Расчёт периода и частоты колебаний математического, пружинного и физического маятников по формулам T = 2π·√(L/g), 2π·√(m/k) и 2π·√(I/(mgd)).
T = 2π · √(L / g)
—
Формулы периода маятника
Математический маятник (точечная масса на нерастяжимой нити): T = 2π · √(L/g). Не зависит от массы и амплитуды (при малых углах < 15°)
Пружинный маятник (груз на пружине): T = 2π · √(m/k). Зависит только от массы и жёсткости, не от ускорения свободного падения
Физический маятник (тело произвольной формы на оси): T = 2π · √(I / (mgd)), где I — момент инерции относительно оси, d — расстояние от оси до центра масс. Приведённая длина: L_пр = I/(md)
Поправка для больших углов:T ≈ 2π·√(L/g)·(1 + θ²/16 + …) — приближение второго порядка по амплитуде θ (рад)
FAQ
От чего зависит период маятника?
Для математического маятника T = 2π√(L/g) — только от длины подвеса и ускорения свободного падения. Период не зависит от массы груза и (при малых углах < 15°) от амплитуды — это свойство называется изохронностью. Для углов > 15° формула даёт ошибку: при амплитуде 30° период на 1.7% больше, при 60° — на 7.3%. Для пружинного маятника T = 2π√(m/k) — зависит от массы и жёсткости пружины, но не от g — он работает одинаково на Земле и в космосе.
Какая длина у секундного маятника?
Секундный маятник имеет период T = 2 с (полуколебание = 1 с — отсюда «секундный»). Из T = 2π√(L/g) получаем L = g·T²/(4π²) = 9.81·4/(4·9.870) ≈ 0.994 м. На широте Парижа точное значение исторически принимали L = 994 мм. На Луне (g = 1.62) для T = 2 с потребуется L ≈ 0.164 м, на Юпитере (g = 24.79) — L ≈ 2.51 м.
Почему в часах с маятником период должен быть постоянным?
Маятник часов — это эталон времени. Каждое колебание соответствует одному «тику», и за известное число колебаний поворачивается стрелка. Если период «плывёт» из-за температуры (длина изменяется через тепловое расширение), часы спешат летом и отстают зимой. Решение — компенсационные маятники (биметаллические, ртутные), у которых эффективная длина L при изменении T остаётся постоянной. Современные часы используют кварцевый или атомный резонатор вместо механического маятника.
Чем физический маятник отличается от математического?
Математический маятник — идеализация: точечная масса на невесомой нерастяжимой нити, всё сосредоточено в одной точке. Физический маятник — реальное тело с распределённой массой (стержень, диск, человек на качелях, ножка стула). Период физического: T = 2π√(I/(mgd)), где I — момент инерции относительно оси подвеса, d — расстояние от оси до центра масс. Приведённая длина L_пр = I/(md) — длина математического маятника с тем же периодом. Для однородного стержня длиной ℓ, подвешенного за конец: I = mℓ²/3, d = ℓ/2, L_пр = 2ℓ/3.
Как с помощью маятника измерить g?
Метод сводится к измерению периода. Берём математический маятник известной длины L (например, 1 м), запускаем колебания малой амплитуды, замеряем секундомером время N колебаний (например, 20). Период T = время/N. Тогда g = 4π²L/T². При L = 1 м и T = 2.006 с: g = 4·9.870·1/4.024 ≈ 9.81 м/с². Точность зависит от количества подсчитанных колебаний. Историческими измерениями маятником была построена карта g на разных широтах.
Как изменится период пружинного маятника, если массу удвоить?
Из T = 2π√(m/k) видно, что T ∝ √m. При удвоении массы период вырастет в √2 ≈ 1.414 раза. Например, m = 0.5 кг, k = 50 Н/м: T = 2π√(0.5/50) ≈ 0.628 с. При m = 1 кг тот же k: T = 2π√(1/50) ≈ 0.889 с. Учетверение массы удвоит период, и т.д. Жёсткость k действует обратно: удвоение k уменьшает T в √2 раз.
Калькулятор работает с тремя видами маятников в пяти режимах. Математический маятник: T = 2π·√(L/g) — расчёт периода по длине нити, обратная задача (найти длину по периоду — например, секундный маятник). Пружинный маятник: T = 2π·√(m/k) — расчёт периода и обратный поиск жёсткости пружины при известной массе и периоде. Физический маятник: T = 2π·√(I/(m·g·d)) с расчётом приведённой длины L_пр = I/(m·d). Для всех режимов поддерживается выбор небесного тела (Земля, Луна, Марс, Юпитер) — для пружинного маятника g не влияет на период, а математический и физический работают по-разному в разных гравитационных полях. Калькулятор выводит также частоту ν = 1/T (Гц), циклическую частоту ω, число колебаний за минуту. Пример: математический маятник длиной 1 м на Земле имеет период T ≈ 2.006 с (28.4 колебания/мин). На Луне (g = 1.62) тот же маятник колеблется с T ≈ 4.94 с — медленнее в 2.46 раза. Пружинный маятник с m = 0.5 кг и k = 50 Н/м: T ≈ 0.628 с независимо от планеты. Секундный маятник (T = 2 с) требует длины L ≈ 0.994 м.