ДомойБез рубрикиРасчёт момента инерции тел и вращательного движения
Расчёт момента инерции тел и вращательного движения
Калькулятор момента инерции I для 10 геометрических тел (шар, цилиндр, стержень, диск, обруч, прямоугольная пластина), уравнений угловой кинематики, кинетической энергии вращения Eₖ = ½Iω² и момента импульса L = Iω.
Момент импульса:L = I·ω; при отсутствии внешнего момента L = const (закон сохранения)
Основной закон вращательной динамики:M = I·ε (аналог F = ma)
Теорема Гюйгенса-Штейнера:I = I₀ + m·d² (перенос оси на расстояние d)
Моменты инерции типовых тел
Тело
Ось
Формула I
Сплошной шар
через центр
(2/5) m R²
Тонкая сферическая оболочка
через центр
(2/3) m R²
Сплошной цилиндр (диск)
ось симметрии
½ m R²
Тонкое кольцо / обруч
ось симметрии
m R²
Полый цилиндр (труба)
ось симметрии
½ m (R₁² + R₂²)
Тонкий стержень
через центр ⟂
(1/12) m L²
Тонкий стержень
через конец ⟂
(1/3) m L²
Прямоугольная пластина
через центр ⟂ плоскости
(1/12) m (a² + b²)
Точечная масса
на расстоянии r
m r²
Сплошной конус
ось симметрии
(3/10) m R²
FAQ
Что такое момент инерции и от чего он зависит?
Момент инерции I — мера инертности тела при вращении, аналог массы для поступательного движения. Зависит от трёх вещей: массы тела, распределения массы относительно оси (чем дальше от оси, тем больше вклад) и положения самой оси вращения. Для одного и того же тела I относительно разных осей различен — например, у стержня через центр I = mL²/12, через конец — в 4 раза больше: mL²/3. Единица СИ — кг·м².
Почему у тонкого кольца момент инерции больше, чем у диска той же массы и радиуса?
У кольца вся масса сосредоточена на расстоянии R от оси, поэтому I = m·R². У диска масса распределена от 0 до R равномерно, и средневзвешенная по площади «эффективная» дистанция меньше — I = ½·m·R². При одинаковых m и R обруч имеет в 2 раза больший момент инерции и при той же угловой скорости запасает вдвое больше энергии вращения.
Что такое теорема Штейнера (Гюйгенса-Штейнера)?
Теорема позволяет найти момент инерции относительно произвольной оси, параллельной той, что проходит через центр масс: I = I₀ + m·d², где I₀ — момент инерции через центр масс, m — масса, d — расстояние между осями. Пример: стержень массой 1 кг длиной 2 м через центр имеет I₀ = m·L²/12 = 1·4/12 ≈ 0.333. Через конец d = L/2 = 1 м, и I = 0.333 + 1·1² = 1.333 кг·м² = m·L²/3.
Какова кинетическая энергия вращающегося колеса m=10 кг, R=0.3 м, ω=20 рад/с?
Если колесо считать сплошным диском, I = ½·m·R² = 0.5·10·0.09 = 0.45 кг·м². Энергия вращения Eₖ = ½·I·ω² = 0.5·0.45·400 = 90 Дж. Если колесо — обруч (вся масса на ободе), I = m·R² = 0.9 и Eₖ = 180 Дж. Эта энергия запасается в маховиках транспортных средств и при торможении переходит в тепло или электричество (рекуперация).
За сколько секунд остановится маховик при ε = −2 рад/с² от ω₀ = 100 рад/с?
Из ω = ω₀ + ε·t при ω = 0 получаем t = −ω₀/ε = 100/2 = 50 с. Угол, пройденный за это время, φ = ω₀²/(2|ε|) = 10000/4 = 2500 рад ≈ 397.9 оборотов. Тормозящий момент, нужный для такого ε при I = 5 кг·м², равен M = I·|ε| = 10 Н·м.
Чему равен момент импульса фигуриста и как меняется при сжатии рук?
При отсутствии внешнего момента сил момент импульса L = I·ω сохраняется. Когда фигурист прижимает руки к телу, его момент инерции уменьшается (масса рук перемещается ближе к оси), и чтобы L оставался постоянным, угловая скорость растёт: ω₂ = ω₁·I₁/I₂. Если I уменьшается в 3 раза — частота вращения увеличивается в 3 раза. Этот же принцип объясняет ускорение пульсаров при коллапсе и стабильность гироскопов.
Считает момент инерции I для 10 типовых тел по их геометрии и массе (сплошной и полый цилиндры, шар и сферическая оболочка, тонкое кольцо, стержень относительно центра и конца, прямоугольная пластина, точечная масса, конус), уравнения угловой кинематики ω = ω₀ + εt и φ = ω₀t + ½εt², кинетическую энергию вращения Eₖ_вр = ½Iω², момент импульса L = Iω и основной закон вращательной динамики M = Iε. Для использования выбирайте режим, для расчёта I дополнительно укажите форму тела, вводите параметры в нужных единицах (кг/г/т, м/см/мм, рад/с или об/мин, Н·м, Дж/кДж/кал/эВ). Пример: сплошной диск массой 2 кг и радиусом 0.3 м имеет I = ½·2·0.09 = 0.09 кг·м²; вращаясь со скоростью 10 рад/с, накапливает Eₖ_вр = ½·0.09·100 = 4.5 Дж и L = 0.9 кг·м²/с.