Калькулятор длины волны де Бройля по импульсу, кинетической энергии или ускоряющему напряжению с релятивистским режимом.
λ = h / (m · v); p = m · v
—
Формулы де Бройля
Основная: λ = h / p, где p — импульс частицы, h = 6.62607015×10⁻³⁴ Дж·с
Нерелятивистски: p = m·v → λ = h/(m·v); через KE: λ = h / √(2·m·KE)
Электрон, ускоренный U: KE = e·U → λ = h / √(2·m_e·e·U) ≈ 1.226 нм / √U[В]
Релятивистски: p = γ·m·v, γ = 1/√(1−β²); через полную энергию: λ = h·c / √(E² − (m·c²)²)
Размер атомов и характерные длины
| Объект | Размер / λ |
|---|---|
| Радиус Бора (атом водорода) | 52.9 пм ≈ 0.0529 нм |
| Межатомные расстояния в кристаллах | 0.1–0.5 нм |
| Длина волны видимого света | 380–780 нм |
| Размер ядра атома | ~1–10 фм |
| Длина волны электрона при U=100 В | ≈ 0.1226 нм |
| Длина волны электрона при U=100 кВ | ≈ 3.7 пм (релятивистски) |
| Тепловой нейтрон (KE=0.025 эВ) | ≈ 0.18 нм |
FAQ
Почему у бейсбольного мяча длина волны существует, но не наблюдается?
У мяча массой 145 г при скорости 40 м/с импульс p = 5.8 кг·м/с, и λ = h/p ≈ 1.14×10⁻³⁴ м. Это в 10²⁰ раз меньше размера атомного ядра — никакая щель или решётка не способна работать дифракционным экраном на такой длине. Волновые свойства принципиально присущи всем телам, но для макрообъектов λ настолько мала, что классическая механика описывает движение с фантастической точностью. Волновые эффекты заметны только когда λ сопоставима с размером препятствия или периодом структуры — для электрона с U=100 В это межатомное расстояние, для тепловых нейтронов — кристаллическая решётка.
Когда нужна релятивистская формула вместо λ=h/(mv)?
Граница — β = v/c. При β < 0.1 (для электрона это KE < 2.5 кэВ) поправка γ−1 меньше 0.5%, и можно пользоваться λ=h/(mv). При β = 0.5 ошибка нерелятивистской формулы уже ~15%, при β = 0.9 — больше 100%. Для электрона в просвечивающем электронном микроскопе при U=100 кВ скорость составляет 0.55c, и нерелятивистский расчёт даёт λ ≈ 3.88 пм вместо корректных 3.70 пм. Правильно использовать λ = h·c/√(E² − (m·c²)²) или, через KE, λ = h·c/√(KE²+2·KE·m·c²). Этот калькулятор в режимах D и E применяет полные релятивистские формулы.
Как электронный микроскоп использует формулу де Бройля?
Разрешение оптического микроскопа ограничено длиной волны света λ ≈ 500 нм — два объекта ближе ~250 нм неразличимы (предел Аббе). Электроны при U=100 кВ имеют λ ≈ 3.7 пм — в 10⁵ раз меньше, что теоретически даёт разрешение до отдельных атомов. Реальное разрешение современных просвечивающих электронных микроскопов (TEM/STEM) — 0.05–0.1 нм, ограничено аберрациями электронных линз, а не длиной волны. Сканирующий электронный микроскоп (SEM) при U=20 кВ работает с λ ≈ 8.6 пм.
Чем нейтронная дифракция отличается от рентгеновской и от электронной?
Все три метода основаны на дифракции волн с λ ~ 0.1 нм на кристаллической решётке (закон Брэгга 2d·sinθ = nλ). Различия — в характере взаимодействия. Рентген рассеивается на электронных оболочках — чувствителен к тяжёлым атомам, плохо «видит» водород. Электроны взаимодействуют сильно (и с ядром, и с электронами) — пробивают тонкие плёнки, удобны для наноструктур. Тепловые нейтроны (KE=0.025 эВ, λ ≈ 0.18 нм) рассеиваются на ядрах и магнитных моментах — именно нейтронография «видит» водород в гидридах и магнитное упорядочение в магнитных материалах.
Что такое волновая функция и связана ли она с λ?
Волновая функция ψ(x,t) в квантовой механике описывает состояние частицы; |ψ|² — плотность вероятности обнаружить частицу. Для свободной частицы с определённым импульсом p ψ — плоская волна exp(i·(p·x − E·t)/ℏ), и её пространственный период — это и есть длина волны де Бройля λ = h/p = 2π·ℏ/p. Для связанных состояний (электрон в атоме) ψ — суперпозиция плоских волн, единого λ нет, но средний импульс и характерный размер связаны соотношением неопределённостей Δx·Δp ≥ ℏ/2.
Почему λ=h/√(2meU) даёт ≈1.226 нм при U=1 В?
Для электрона при ускорении напряжением U кинетическая энергия KE = e·U. Подставляя в нерелятивистскую формулу: λ = h/√(2·m_e·e·U). Числовая константа: h/√(2·m_e·e) = 6.626×10⁻³⁴ / √(2·9.109×10⁻³¹·1.602×10⁻¹⁹) ≈ 1.2264×10⁻⁹ м·В^(1/2). Поэтому λ[нм] ≈ 1.2264 / √(U[В]). При U=100 В λ ≈ 0.1226 нм — масштаб межатомных расстояний (опыт Дэвиссона-Джермера 1927 г.). При U=10 кВ λ ≈ 12.3 пм, при U=100 кВ нерелятивистская формула даёт 3.88 пм, а релятивистская — 3.70 пм.
Расчёт длины волны де Бройля λ = h/p для электрона, протона, нейтрона, α-частицы и тел произвольной массы. Поддерживаются пять режимов: через скорость v, через кинетическую энергию KE, через ускоряющее напряжение U, релятивистский (γ·m·v) и через полную энергию E. Применяется при подготовке к ЕГЭ и в задачах по квантовой механике, при расчёте разрешения электронного микроскопа (электрон при U = 100 кВ имеет λ ≈ 3.7 пм), при анализе нейтронографии тепловых нейтронов (KE = 0.025 эВ → λ ≈ 0.18 нм) и для оценки β = v/c. Пример: электрон, ускоренный U = 100 В, даёт λ ≈ 0.123 нм — масштаб межатомных расстояний (опыт Дэвиссона-Джермера). Результат выводится в нм, пм, Å и фм с пошаговым выводом импульса.