Расчёт уровней энергии E_n, радиусов орбит, скоростей электрона, длин волн переходов и энергии ионизации для водорода и водородоподобных ионов по модели Бора.
E_n = −13.6 · Z² / n² (эВ)
—
Формулы Бора
Уровни энергии: E_n = −13.6 · Z² / n² эВ = −R_y · Z² / n² (R_y = 13.6057 эВ)
Радиус орбиты: r_n = a₀ · n² / Z, где a₀ = 5.29177·10⁻¹¹ м (Боровский радиус)
Скорость электрона: v_n = α·c·Z / n, α = 1/137.036, c = 2.998·10⁸ м/с
Формула Ридберга (длина волны перехода): 1/λ = R_∞ · Z² · (1/n₁² − 1/n₂²); R_∞ = 1.0974·10⁷ м⁻¹
Энергия фотона: ΔE = E_n2 − E_n1 = 13.6 · Z² · (1/n₁² − 1/n₂²) эВ; ΔE = h·c/λ
Энергия ионизации (с уровня n): E_ion = |E_n| = 13.6 · Z² / n² эВ; для основного состояния H — 13.6 эВ
Спектральные серии водорода (Z=1)
| Серия | n₁ | Диапазон λ | Область спектра |
|---|---|---|---|
| Лайман | 1 | 91.18 – 121.57 нм | УФ |
| Бальмер | 2 | 364.6 – 656.28 нм | видимый |
| Пашен | 3 | 820.4 – 1875.1 нм | ближний ИК |
| Брэкет | 4 | 1458 – 4051 нм | средний ИК |
| Пфунд | 5 | 2279 – 7460 нм | дальний ИК |
| Хэмфри | 6 | 3282 – 12370 нм | дальний ИК |
Линии Бальмеровской серии (видимый спектр)
| Линия | Переход n₂ → n₁ | λ, нм | Цвет |
|---|---|---|---|
| H_α | 3 → 2 | 656.28 | красный |
| H_β | 4 → 2 | 486.13 | сине-зелёный (циан) |
| H_γ | 5 → 2 | 434.05 | сине-фиолетовый |
| H_δ | 6 → 2 | 410.17 | фиолетовый |
| H_ε | 7 → 2 | 397.01 | УФ-фиолетовый |
FAQ
В чём ограничения модели Бора и зачем нужна квантовая механика?
Модель Бора (1913) точно описывает спектр водорода и водородоподобных ионов (He⁺, Li²⁺, …) — одноэлектронных систем. Но она не работает для многоэлектронных атомов: не учитывает экранирование, обмен, спин-орбитальное взаимодействие, тонкую и сверхтонкую структуру. Также Бор постулирует круговые орбиты и квантование момента импульса L = n·ℏ, что противоречит принципу неопределённости Гейзенберга — нельзя одновременно знать точную координату и импульс электрона. Современная квантовая механика заменяет орбиты на орбитали (вероятностные облака) и использует уравнение Шрёдингера, которое даёт те же уровни E_n для водорода, но с правильным описанием формы и магнитных свойств.
Почему E_n отрицательная и что такое ноль шкалы?
Знак минус означает связанное состояние: ноль энергии соответствует свободному электрону на бесконечности (n → ∞). Чтобы оторвать электрон от ядра, нужно совершить положительную работу, поэтому связанные состояния лежат ниже нуля. Чем меньше n, тем глубже потенциальная яма и тем «отрицательнее» E_n. Для водорода в основном состоянии E_1 = −13.6 эВ — это значит, что для ионизации (перевода электрона из n=1 в n=∞) нужно сообщить +13.6 эВ. Шкала отсчёта условна; в спектроскопии часто вводят волновое число T_n = −E_n/(hc) = R_∞ Z²/n² — терм атома (всегда положителен).
Как определить, в какой серии лежит линия?
Серия определяется нижним уровнем перехода n₁: Лайман — все переходы в n₁=1 (УФ, 91–122 нм), Бальмер — в n₁=2 (видимый и ближний УФ, 365–656 нм), Пашен — в n₁=3 (ближний ИК, 820–1875 нм), Брэкет n₁=4, Пфунд n₁=5. Самая длинноволновая линия серии — это переход с соседнего уровня (n₂ = n₁+1, например H_α для Бальмера), а коротковолновая граница (n₂ → ∞) — это серия-предел: для Лаймана 91.18 нм, для Бальмера 364.6 нм. Калькулятор автоматически определяет серию по введённому n₁ и помечает, попадает ли линия в видимый диапазон 380–780 нм.
Чему равна энергия ионизации водорода и почему 13.6 эВ?
Энергия ионизации водорода из основного состояния E_ion = |E_1| = 13.6057 эВ — её называют постоянной Ридберга в энергетических единицах R_y. Эта величина выводится из фундаментальных констант: R_y = m_e·e⁴/(8·ε₀²·h²) = α²·m_e·c²/2 ≈ 13.606 эВ. Для водородоподобных ионов с зарядом ядра Z энергия ионизации растёт как Z²: для He⁺ — 54.4 эВ, для Li²⁺ — 122.4 эВ, для C⁵⁺ — 489.8 эВ. Чтобы перевести в Дж, умножьте на 1.602·10⁻¹⁹; в кДж/моль — на 96.485 (энергия Авогадро): 13.6 эВ = 1312 кДж/моль (потенциал ионизации H в химических справочниках).
Как формула Ридберга связана с моделью Бора?
Формула Ридберга 1/λ = R_∞·Z²·(1/n₁² − 1/n₂²) была выведена эмпирически Бальмером (1885) и Ридбергом (1888) задолго до Бора, исключительно из наблюдаемых спектров. Бор получил её теоретически: разность энергий уровней ΔE = E_n2 − E_n1 = R_y·Z²·(1/n₁² − 1/n₂²) при ΔE = hc/λ даёт ту же зависимость, причём константа R_∞ = R_y/(hc) = 1.0974·10⁷ м⁻¹ выражается через массу электрона, элементарный заряд и постоянную Планка. Совпадение с экспериментом стало решающим аргументом в пользу квантования энергии и атомной модели с дискретными орбитами.
Может ли электрон на n=1 излучить фотон? Почему нет?
Нет. Уровень n=1 — основное состояние с минимальной энергией; ниже него нет других связанных состояний, в которые электрон мог бы перейти с излучением фотона. Излучение возможно только при переходе сверху вниз (n_верх → n_ниж), а на n=1 переходить уже некуда. Именно поэтому водород в основном состоянии химически устойчив и не «сваливается» в ядро, как требовала бы классическая электродинамика. Электрон может, наоборот, поглотить фотон с подходящей энергией ΔE = E_n − E_1 и перейти на возбуждённый уровень n>1, либо при ΔE ≥ 13.6 эВ — оторваться от ядра (ионизация). Возврат с n>1 на n=1 даёт серию Лайман.
Калькулятор по модели Бора рассчитывает параметры атома водорода и водородоподобных ионов (He⁺, Li²⁺, Be³⁺ и др.). Поддерживаются 5 режимов: энергия уровня E_n = −13.6·Z²/n² эВ, радиус орбиты r_n = a₀·n²/Z, скорость электрона v_n = α·c·Z/n, длина волны перехода по формуле Ридберга 1/λ = R_∞·Z²·(1/n₁² − 1/n₂²), а также энергия ионизации с произвольного уровня. Калькулятор автоматически определяет спектральную серию (Лайман, Бальмер, Пашен, Брэкет, Пфунд) и видимый цвет линии. Пример: для перехода Бальмер H_α (n=3→2 водорода) λ ≈ 656.28 нм — красная линия видимого спектра, ΔE ≈ 1.89 эВ. Для He⁺ при переходе n=2→1 длина волны 30.4 нм — крайний УФ. Энергия выводится в эВ, Дж, кДж/моль и атомных единицах (Хартри); радиус — в м, нм, пм и a₀; скорость — в м/с, км/с и долях c. Введите квантовые числа n, n₁, n₂ (целые ≥1) и заряд ядра Z от 1 до 10. В справке — формулы Бора, таблица серий водорода и линий Бальмера.