Закон Гука — расчёт силы упругости, жёсткости и периода колебаний пружины

Калькулятор закона Гука F = k·x с расчётом силы упругости, жёсткости пружины, деформации, потенциальной энергии Eₚ = ½kx², периода колебаний T = 2π√(m/k), а также соединений пружин последовательно и параллельно.

F = k · x

Жёсткость пружины k

Деформация x (Δl)

Сила упругости F

Масса груза m

Жёсткость k₁

Жёсткость k₂

Тип соединения

—

Формулы закона Гука

Закон Гука: F = k · x — сила упругости прямо пропорциональна деформации (в пределах упругости)

Жёсткость и деформация: k = F / x; x = F / k

Потенциальная энергия: Eₚ = ½ · k · x² = F · x / 2

Период колебаний пружинного маятника: T = 2π · √(m / k); f = 1 / T; ω = √(k / m)

Соединения пружин: последовательно k_общ = (k₁·k₂)/(k₁+k₂); параллельно k_общ = k₁ + k₂

Типичные значения жёсткости

Объект	k, Н/м	Комментарий
Канцелярская скрепка (разогнуть)	~10	Тонкая стальная проволока
Пружина шариковой ручки	~500	d витка ~3 мм
Пружина матраса	3 000–10 000	В зависимости от типа
Пружина клапана ДВС	15 000–35 000	Витая цилиндрическая
Амортизатор легкового авто	~25 000	Передняя подвеска
Ж/д рессора	~250 000	Винтовая стальная
Стальной трос Ø10 мм (1 м)	~1 600 000	На растяжение E·A/L

FAQ

Что такое закон Гука и когда он применим?

Закон Гука: сила упругости F прямо пропорциональна деформации x: F = k·x, где k — жёсткость пружины (или коэффициент упругости). Закон работает только в области упругих деформаций — пока не превышен предел пропорциональности σ_пц (примерно 200 МПа для конструкционной стали Ст3) и предел упругости σ_у. За ними начинается область пластических деформаций, где после снятия нагрузки тело не возвращается в исходное состояние, и линейная зависимость нарушается. Для большинства школьных задач пружина считается идеальной и закон Гука применим во всём диапазоне.

Что такое жёсткость пружины k и от чего она зависит?

Жёсткость k [Н/м] показывает, какую силу нужно приложить, чтобы растянуть пружину на 1 метр. Для цилиндрической винтовой пружины k = G·d⁴/(8·D³·n), где G — модуль сдвига материала, d — диаметр проволоки, D — средний диаметр витка, n — число витков. Чем толще проволока и меньше диаметр витка — тем жёстче пружина. У стержня на растяжение k = E·A/L (E — модуль Юнга, A — площадь сечения, L — длина). У одинаковых пружин жёсткость одинакова, но у двух «параллельных» суммируется, у «последовательных» — уменьшается.

Чему равна потенциальная энергия деформированной пружины?

Eₚ = ½·k·x² = F·x/2 [Дж]. Формула получается интегрированием: работа против упругой силы при растяжении от 0 до x равна A = ∫₀ˣ k·ξ dξ = ½kx². Эта энергия запасается в пружине и при возврате в исходное положение полностью переходит в кинетическую (для идеальной пружины без трения). Пример: пружина k = 300 Н/м, растянутая на 10 см, накапливает Eₚ = ½·300·0.01 = 1.5 Дж — этого хватит подбросить тело массой 100 г на высоту h = Eₚ/(mg) ≈ 1.53 м.

Как изменится k при последовательном соединении двух одинаковых пружин?

При последовательном соединении пружины растягиваются на свои x₁ и x₂, а общая деформация x = x₁ + x₂. Сила в каждой пружине одинакова и равна F. Тогда 1/k_общ = 1/k₁ + 1/k₂, или k_общ = (k₁·k₂)/(k₁+k₂). Для двух одинаковых k₁ = k₂ = k получаем k_общ = k/2 — жёсткость уменьшается вдвое, а пружина становится «мягче». Это используют, когда нужна большая деформация при том же усилии (длинные подвесы, мягкие подвески).

Как изменится k при параллельном соединении пружин?

При параллельном соединении обе пружины растягиваются на одно и то же x, а суммарная сила распределяется: F = F₁ + F₂ = k₁·x + k₂·x = (k₁+k₂)·x. Значит k_общ = k₁ + k₂. Для двух одинаковых пружин k_общ = 2k — жёсткость удваивается. Так делают подвески тяжёлых машин (две пружины вместо одной мощной), пружинные блоки матрасов, амортизаторы железнодорожных вагонов, опоры виброизоляторов. Параллельная сборка надёжнее: при разрушении одной пружины вторая частично работает.

Какой период колебаний у пружинного маятника m=1 кг, k=100 Н/м?

T = 2π·√(m/k) = 2π·√(1/100) = 2π·0.1 ≈ 0.628 с. Частота f = 1/T ≈ 1.59 Гц, угловая частота ω = √(k/m) = 10 рад/с. Период не зависит от амплитуды колебаний и от направления силы тяжести (в отличие от математического маятника), а зависит только от массы груза и жёсткости пружины. Чтобы удвоить период, надо увеличить массу в 4 раза или уменьшить жёсткость в 4 раза.

Калькулятор для расчётов по закону Гука: сила упругости F = k·x, жёсткость пружины k = F/x, деформация x = F/k, потенциальная энергия деформации Eₚ = ½kx², период и частота колебаний пружинного маятника T = 2π√(m/k), а также эквивалентная жёсткость при последовательном (k = k₁·k₂/(k₁+k₂)) и параллельном (k = k₁+k₂) соединении пружин. Поддерживаются единицы Н/кН/кгс для силы, м/см/мм для деформации, Н/м, Н/см, Н/мм, кН/м для жёсткости, кг/г/т для массы. Чтобы получить ответ, выберите нужный режим вкладкой и введите две известные величины. Пример: пружина с k = 200 Н/м, растянутая на 5 см, развивает силу F = 200·0,05 = 10 Н и накапливает энергию Eₚ = ½·200·0,05² = 0,25 Дж. Пружинный маятник массой m = 0,5 кг на пружине k = 20 Н/м колеблется с периодом T = 2π·√(0,025) ≈ 0,99 с и частотой f ≈ 1,01 Гц.