ДомойБез рубрикиЗакон всемирного тяготения Ньютона — расчёт силы и ускорения свободного падения
Закон всемирного тяготения Ньютона — расчёт силы и ускорения свободного падения
Калькулятор закона всемирного тяготения F = G·m₁·m₂/r² с расчётом ускорения свободного падения g = GM/R² на любой планете и g(h) = GM/(R+h)² на заданной высоте.
F = G · m₁ · m₂ / r²; G = 6.6743·10⁻¹¹ Н·м²/кг²
—
Формулы закона всемирного тяготения
Сила тяготения между двумя телами:F = G·m₁·m₂/r², где G = 6.6743·10⁻¹¹ Н·м²/кг² — гравитационная постоянная, r — расстояние между центрами масс.
Ускорение свободного падения на поверхности:g = G·M/R², где M — масса планеты, R — её радиус.
Ускорение на высоте h над поверхностью:g(h) = G·M/(R+h)². Для МКС (h ≈ 400 км) g(h) ≈ 8.69 м/с² — около 89% земного.
Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы
Тело
g, м/с²
Доля от Земли
Меркурий
3.70
0.378
Венера
8.87
0.905
Земля
9.81
1.000
Луна
1.62
0.165
Марс
3.71
0.378
Юпитер
24.79
2.530
Сатурн
10.44
1.065
Уран
8.87
0.905
Нептун
11.15
1.137
Солнце
274
27.94
FAQ
Что такое гравитационная постоянная G?
G = 6.6743·10⁻¹¹ Н·м²/кг² (CODATA 2022) — фундаментальная физическая постоянная, входящая в закон всемирного тяготения F = G·m₁·m₂/r². Её численное значение определяет, насколько сильно гравитационно взаимодействуют тела заданной массы на заданном расстоянии. G одинакова во всей наблюдаемой Вселенной и не зависит от свойств вещества. Это самая малая по абсолютной величине из фундаментальных констант — поэтому гравитация двух обычных тел ничтожна по сравнению с электромагнитными силами.
Как Кавендиш измерил G?
В 1798 году Генри Кавендиш использовал крутильные весы: горизонтальный стержень с двумя свинцовыми шариками на концах подвешивался на тонкой кварцевой нити. К шарикам подносили тяжёлые свинцовые массы (~158 кг), и измеряли угол закручивания нити по отклонению светового зайчика. Зная коэффициент кручения нити и геометрию установки, Кавендиш получил G ≈ 6.74·10⁻¹¹, что отличается от современного значения менее чем на 1%. Опыт также позволил впервые «взвесить Землю» — определить её массу.
Почему g на Земле равно 9.81 м/с²?
Из формулы g = G·M/R² при M = 5.9722·10²⁴ кг и R = 6371 км получаем g ≈ 9.82 м/с². Стандартное «школьное» значение g₀ = 9.80665 м/с² — это среднее, утверждённое 3-й Генеральной конференцией по мерам и весам в 1901 году. Реальное g зависит от широты (центробежная сила вращения Земли уменьшает эффективное g на экваторе) и плотности коры, поэтому в разных точках мира оно колеблется от ~9.78 до ~9.83 м/с².
Как меняется g с высотой?
По формуле g(h) = G·M/(R+h)² ускорение убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра планеты. На высоте 400 км (МКС) над Землёй g ≈ 8.69 м/с² — это всего 11% потери; космонавты испытывают невесомость не из-за «отсутствия гравитации», а из-за свободного падения станции по орбите. На высоте 35786 км (геостационарная орбита) g ≈ 0.22 м/с². На 6378 км (две R) g уменьшается в 4 раза до ~2.45 м/с².
Зависит ли вес от широты?
Да. На полюсе g ≈ 9.832 м/с², на экваторе g ≈ 9.780 м/с². Разница ~0.5% складывается из двух факторов: (1) Земля сплюснута у полюсов, поэтому на экваторе расстояние до центра больше; (2) на экваторе максимальна центробежная сила от суточного вращения, она «вычитает» ~0.034 м/с² из эффективного g. Тело массой 100 кг весит на экваторе примерно на 530 г меньше, чем на полюсе, при той же массе.
Чему равна сила притяжения двух людей 70 кг на расстоянии 1 м?
F = 6.6743·10⁻¹¹ · 70 · 70 / 1² ≈ 3.27·10⁻⁷ Н — это около 33 микрограммов силы. Для сравнения: вес одной песчинки массой 1 мг — около 10⁻⁵ Н, то есть в 30 раз больше. Именно поэтому в быту мы не замечаем взаимного притяжения людей и предметов: гравитация существенна только для тел планетарного масштаба.
Расчёт по закону всемирного тяготения Ньютона: сила взаимного притяжения двух тел F = G·m₁·m₂/r², ускорение свободного падения на поверхности любой планеты Солнечной системы g = G·M/R², а также изменение g с высотой h по формуле g(h) = G·M/(R+h)². Гравитационная постоянная G = 6.6743·10⁻¹¹ Н·м²/кг². В калькуляторе пять режимов: найти силу F, восстановить массу m₁ по известной F, найти расстояние r, посчитать g на поверхности и g на высоте над планетой. Поддерживаются массы в килограммах, тоннах, массах Земли, Солнца и Луны; расстояния в метрах, км, радиусах Земли, а.е. и световых годах. Пример: F между Землёй и Луной = 6.674·10⁻¹¹·5.972·10²⁴·7.342·10²²/(3.844·10⁸)² ≈ 1.98·10²⁰ Н; g на Марсе ≈ 3.71 м/с²; g на МКС (h=400 км) ≈ 8.69 м/с².