Найти синус через косинус и наоборот — калькулятор онлайн

Калькулятор находит синус через косинус и косинус через синус по основному тригонометрическому тождеству sin²α + cos²α = 1. Введите известное значение и укажите четверть угла — получите ответ с пошаговым решением. Поддерживаются дроби (например, 3/5) и десятичные числа.

Как найти синус, зная косинус

Если известен cos α, синус находится по формуле:

sin α = ±√(1 − cos²α)

Знак выбирается по четверти, в которой лежит угол α: в I и II четвертях sin α > 0, в III и IV — sin α < 0.

Пример. Дано cos α = 3/5, угол в I четверти. Считаем:

1. cos²α = (3/5)² = 9/25;
2. 1 − cos²α = 1 − 9/25 = 16/25;
3. sin α = ±√(16/25) = ±4/5;
4. В I четверти sin α > 0, значит sin α = 4/5 = 0,8.

Как найти косинус, зная синус

Формула симметричная:

cos α = ±√(1 − sin²α)

Знак выбирается по четверти: в I и IV четвертях cos α > 0, в II и III — cos α < 0.

Пример. Дано sin α = −1/2, угол в III четверти. Тогда:

1. sin²α = 1/4;
2. 1 − sin²α = 3/4;
3. cos α = ±√(3/4) = ±√3/2;
4. В III четверти cos α < 0, значит cos α = −√3/2 ≈ −0,866 (это угол 210°).

Основное тригонометрическое тождество

Для любого угла α справедливо равенство:

sin²α + cos²α = 1

Это прямое следствие теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, вписанного в единичный круг. Радиус-вектор длиной R = 1 — это гипотенуза, его проекции на оси X и Y равны cos α и sin α соответственно — это катеты. Следовательно: sin²α + cos²α = R² = 1. На картинке калькулятора этот треугольник показан явно: горизонтальный катет (синий) — косинус, вертикальный (красный) — синус, гипотенуза — радиус единичного круга.

Знаки sin и cos по четвертям

Поэтому при поиске одного значения через другое всегда нужно указать четверть — без неё ответ остаётся «с точностью до знака» (плюс-минус). Калькулятор учитывает это автоматически через выпадающий список.

Как найти sin и cos, зная тангенс

Если известен tg α, синус и косинус находятся по формулам:

• cos α = ±1 / √(1 + tg²α)
• sin α = ±tg α / √(1 + tg²α)

Знаки определяются четвертью угла. В I и III четвертях tg α > 0, в II и IV — tg α < 0.

Пример. Дано tg α = 3/4, угол в I четверти. Считаем:

1. 1 + tg²α = 1 + 9/16 = 25/16;
2. √(1 + tg²α) = 5/4;
3. cos α = 1 / (5/4) = 4/5 = 0,8;
4. sin α = (3/4) · (4/5) = 3/5 = 0,6.

Формулы суммы и разности углов

• sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β;
• sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β;
• cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β;
• cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β.

Короткая запись: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β и cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β (у косинуса знак меняется на противоположный).

Формулы двойного угла

Если в формулах суммы взять β = α, получаются:

• sin 2α = 2 · sin α · cos α;
• cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α.

Все три записи cos 2α эквивалентны и получаются одна из другой подстановкой основного тождества.

Таблица значений sin и cos

Дополнительные примеры

Пример 1. Найти sin α, если cos α = 0,6 и α — острый угол.
Острый угол лежит в I четверти, поэтому sin α > 0. По тождеству: sin²α = 1 − 0,36 = 0,64, значит sin α = √0,64 = 0,8. Проверка: 0,8² + 0,6² = 0,64 + 0,36 = 1. ✓

Пример 2. Найти cos α, если sin α = √3/2 и α из II четверти.
sin²α = 3/4, тогда cos²α = 1 − 3/4 = 1/4, cos α = ±1/2. Во II четверти cos < 0, значит cos α = −1/2 (это угол 150°).

Пример 3. Вычислить sin 75°.
По формуле суммы: sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

Пример 4. Найти cos 2α, если sin α = 0,6.
Удобнее формула через синус: cos 2α = 1 − 2sin²α = 1 − 2 · 0,36 = 0,28.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли по известному cos α однозначно найти sin α?

Нет. Тождество sin²α + cos²α = 1 даёт два возможных значения sin α — с плюсом и с минусом (модуль одинаковый). Чтобы выбрать конкретный знак, нужно знать четверть угла или дополнительное условие (например, «α — острый» или «α ∈ (π; 3π/2)»).

Чему равна сумма квадратов синуса и косинуса?

Для любого угла α сумма sin²α + cos²α = 1. Это основное тригонометрическое тождество, оно выполняется всегда — это не уравнение, а тождество.

Как из синуса получить косинус того же угла?

По формуле cos α = ±√(1 − sin²α). Знак определяется четвертью угла: в I и IV четвертях cos > 0, в II и III — cos < 0.

Как найти sin и cos, если дан только тангенс?

По формулам cos α = ±1/√(1 + tg²α) и sin α = tg α · cos α. Знак cos α выбирается по четверти угла, после чего знак sin α получается автоматически.

Что делать, если значение cos α больше 1 или меньше −1?

Такого угла не существует. И синус, и косинус любого действительного угла лежат в диапазоне [−1; 1]. Если в задаче получилось значение вне этого диапазона — где-то в условии или вычислениях ошибка.

Связанные калькуляторы

• Калькулятор синуса (sin)
• Калькулятор косинуса (cos)
• sin в cos — перевод
• Косинус двойного угла