ДомойБез рубрикиРасчёт потенциальной энергии — гравитационная и упругая
Расчёт потенциальной энергии — гравитационная и упругая
Калькулятор потенциальной энергии тела в поле тяжести (Eₚ=mgh) и упругой деформации пружины (Eₚ=½kx²) с режимами решения для любой неизвестной величины.
Eₚ = m · g · h
—
Формулы потенциальной энергии
Гравитационная (приближение mgh, h ≪ R_З):Eₚ = m·g·h — энергия тела на высоте h над нулевым уровнем
Упругая (пружина, закон Гука):Eₚ = ½·k·x² — энергия деформации
Полная гравитационная (точная, для больших расстояний):Eₚ = −G·M·m/r — всегда отрицательна, ноль на бесконечности
Связь с силой:F = −dEₚ/dx — консервативная сила = минус градиент потенциала
Связь с работой:A = mgh; A = ½kx² — работа против тяжести / на сжатие пружины
Закон сохранения энергии:Eₖ + Eₚ = const — без диссипации сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна
Типичные значения потенциальной энергии
Объект
m
h
Eₚ ≈
Книга на столе
0.5 кг
0.8 м
3.92 Дж
Человек на 5-м этаже
70 кг
15 м
10.3 кДж
Автомобиль на горке
1500 кг
30 м
441 кДж
Лифт в небоскрёбе
1000 кг
200 м
1.96 МДж
Спутник МКС (на 400 км)
420 т
400 км
≈1.65 ТДж*
Метеорит 1 т у Земли
1000 кг
100 км
981 МДж
* Замечание: для космических высот точная формула Eₚ = −GMm/r отличается от mgh из-за изменения g с высотой.
FAQ
Что такое потенциальная энергия?
Потенциальная энергия Eₚ — это энергия взаимодействия тела с полем (гравитационным, упругим, электрическим), зависящая от взаимного положения тел. Тело, поднятое на высоту h, обладает гравитационной потенциальной энергией Eₚ = mgh относительно нулевого уровня. Деформированная пружина накапливает упругую потенциальную энергию Eₚ = ½kx². В отличие от кинетической энергии, Eₚ зависит не от скорости, а от положения (координаты) тела в поле сил.
Чем отличается гравитационная Eₚ от упругой?
Гравитационная Eₚ = mgh связана с положением тела в поле тяжести: чем выше тело, тем больше его потенциальная энергия. Упругая Eₚ = ½kx² связана с деформацией упругого тела (пружины, резинки): чем сильнее сжата или растянута пружина, тем больше запасённая в ней энергия. Гравитационная зависит линейно от h, упругая — квадратично от x. Обе являются консервативными: работа этих сил по замкнутому контуру равна нулю.
Зависит ли Eₚ от выбора нулевого уровня?
Сама величина Eₚ — да, зависит от того, где выбран нулевой уровень отсчёта (пол, стол, поверхность земли). Однако физический смысл имеет только разность ΔEₚ при переходе тела из одного положения в другое — она не зависит от выбора нуля. Поэтому в задачах о законе сохранения энергии нулевой уровень выбирают так, чтобы расчёты были максимально удобными — обычно совпадающим с самой нижней точкой движения тела.
Как Eₚ переходит в Eₖ при свободном падении?
При свободном падении (без сопротивления воздуха) выполняется закон сохранения механической энергии: Eₖ + Eₚ = const. В верхней точке вся энергия — потенциальная (mgh), внизу вся — кинетическая (½mv²). Из равенства mgh = ½mv² следует v = √(2gh). Например, тело массой 2 кг с высоты 5 м: Eₚ_верх = 2·9.81·5 = 98.1 Дж переходит в Eₖ_низ = 98.1 Дж, значит v = √(2·9.81·5) ≈ 9.9 м/с.
Как считать Eₚ на других планетах?
Используется та же формула Eₚ = mgh, но с локальным значением g данной планеты. На Луне g_Л = 1.62 м/с², поэтому тело массой 1 кг на высоте 10 м имеет Eₚ = 1·1.62·10 = 16.2 Дж — в 6 раз меньше, чем на Земле (98.1 Дж). На Юпитере (g = 24.79 м/с²) та же масса на той же высоте даст 247.9 Дж. Калькулятор учитывает выбор небесного тела через выпадающий список.
Какова Eₚ растянутой пружины k=100 Н/м, x=0.1 м?
Подставляем в формулу упругой потенциальной энергии: Eₚ = ½·k·x² = ½·100·0.1² = ½·100·0.01 = 0.5 Дж. Если ту же пружину растянуть вдвое сильнее (x = 0.2 м), энергия вырастет в 4 раза: Eₚ = ½·100·0.04 = 2 Дж — упругая энергия растёт квадратично от деформации, поэтому удвоение растяжения учетверяет запасённую энергию.
Калькулятор находит потенциальную энергию по двум основным формулам физики: гравитационная Eₚ = m·g·h для тела на высоте h и упругая Eₚ = ½·k·x² для деформированной пружины. Доступно шесть режимов: по двум известным величинам можно найти любую третью (массу, высоту, жёсткость, деформацию или саму энергию).
Как пользоваться: выберите режим в верхней панели, введите две известные величины с подходящими единицами (кг/г/т/фунт для массы; м/см/мм/км/фут для высоты; Н/м, Н/см, Н/мм для жёсткости пружины), при необходимости укажите небесное тело — Земля, Луна, Марс, Юпитер, Венера. Результат выводится в Дж с конвертацией в кДж, кал, кВт·ч, эВ.
Пример 1: книга массой 0.5 кг на полке высотой 1.8 м обладает Eₚ = 0.5·9.81·1.8 ≈ 8.83 Дж. Пример 2: пружина k = 200 Н/м, сжатая на 5 см, накапливает Eₚ = ½·200·0.05² = 0.25 Дж.